URAL1091 Tmutarakan Exams (容斥原理)

最新推荐文章于 2020-11-09 10:39:40 发布

My_ACM_Dream

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分类专栏：数学—容斥原理数学

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数学—容斥原理

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本文探讨了一个数学问题：在限定范围内寻找最大公约数大于1的K个不同整数的所有可能组合，并通过使用容斥原理和递归算法提供了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

求S以内包括S，最大公约数大于1的K个不同的数有多少种情况。

题解：

我们知道要使得k个不同的数有公约数>1，那么这些数肯定有公共的约数n>1，为了不重复计算，我们枚举这个质数约数，得到倍数的个数n，那么这个约数能得到的K个不同数的组合方案有C[n][K],但是会出现这样的情况比如：假设现在S=12,K=1,那么2 ,4, 6,8 10,12; 3 6, 9, 12;2和3对应的组合就出现了重复6,12是重复的。那么我们根据容斥原理把重复的剃掉，就是剃掉2,3最小公倍数对应的组合数。

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define B(x) (1<<(x))
void cmax(int& a,int b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(int& a,int b){ if(b<a)a=b; }
typedef long long ll;
const int oo=0x3f3f3f3f;
const ll OO=1LL<<61;
const int MOD=1000007;
const int maxn=55;
int p[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61};
ll C[maxn][maxn];
int K,S;

void get_C(){
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
    }
}

ll dfs(int s,int x,int n){
    ll res=0,cnt,t;
    for(int i=s;p[i]<=n;i++){
        res+=C[x/p[i]][K]-dfs(i+1,x/p[i],n);
    }
    return res;
}

ll solve(int n){
    ll ans=dfs(0,n,n);
    if(ans>10000)ans=10000;
    return ans;
}

int main(){
    //freopen("E:\\read.txt","r",stdin);
    get_C();
    while(scanf("%d %d",&K,&S)!=EOF){
        printf("%I64d\n",solve(S));
    }
    return 0;
}