codeforces 398B Painting The Wall (概率dp)

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动态规划—概率dp

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本文探讨了一种在n*n的棋盘上，通过已知砖块位置来优化砌筑过程，计算完成全部砌筑所需的期望时间。采用动态规划方法，通过转移方程dp[i][j] = (dp[i-1][j-1]*i*j + dp[i-1][j]*(n-i)*j + dp[i][j-1]*i*(n-j) + dp[i][j]*(n-i)*(n-j)) / (n*n) + 1来解决此问题。实例演示了如何应用此方法解决实际问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给出n*n的格子，现在要给每个格子砌砖，题目给出了已经砌好砖的格子坐标。砌砖直到每行每列都至少有一个砖块停下。每次要选择这些格子中的一个取砌砖，如果已经有砖就放弃。每次操作都要休息时间为一个单位，砌砖不需要时间。问完成目标砌砖时间的期望。

题解：

事实上并不一定要知道砖块的位置，或者按一定方式去砌砖。我们可以抽象的这样理解，砌了i行的砖，砌了j列的砖，那么dp[i][j]表示还有i行的砖没砌，还有j列的砖没砌，需要的时间期望。

dp[i][j]={dp[i-1][j-1]*i*j+dp[i-1][j]*(n-i)*j+dp[i][j-1]*i*(n-j)+dp[i][j]*(n-i)*(n-j)}/(n*n)+1;

移项得出方程。结果为dp[r][c];

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
//typedef long long lld;
const int oo=0x3f3f3f3f;
//const lld OO=1LL<<61;
const int MOD=(1e9)+7;
const int maxn=2005;
double dp[maxn][maxn];
int x[maxn],y[maxn];

int main()
{
    int n,m,r,c,a,b;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
        r=c=n;
        memset(x,0,sizeof x);
        memset(y,0,sizeof y);
        memset(dp,0,sizeof dp);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d %d",&a,&b);
            if(!x[a]) r--;
            if(!y[b]) c--;
            x[a]++;
            y[b]++;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+1.0*n/i;
            dp[0][i]=dp[0][i-1]+1.0*n/i;
        }
        for(int i=1;i<=r;i++)
        {
            for(int j=1;j<=c;j++)
            {
                double temp=1.0*n*n+1.0*(n-i)*j*dp[i][j-1]+1.0*i*(n-j)*dp[i-1][j]+i*j*dp[i-1][j-1];
                dp[i][j]=temp/(1.0*n*n-1.0*(n-i)*(n-j));
            }
        }
        printf("%.10lf\n",dp[r][c]);
    }
    return 0;
}
/**
5 2
2 3
4 1

2 2
1 1
1 2

1 1
1 1

*/