【滤波跟踪】基于拓展卡尔曼滤波kalman实现数据滤波附Matlab代码2-优快云博客

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🔥 内容介绍

数据滤波与跟踪是信息处理领域中至关重要的环节，广泛应用于导航、控制、目标跟踪、信号处理等诸多领域。由于现实世界的系统通常具有非线性特征，传统的线性滤波方法难以满足精度要求，因此，非线性滤波技术应运而生。拓展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）作为一种重要的非线性滤波算法，通过对非线性系统进行局部线性化处理，实现了对非线性系统的状态估计。本文将深入探讨基于拓展卡尔曼滤波的数据滤波跟踪方法，重点分析其原理、实现过程以及在实际应用中的优势与局限性。

一、卡尔曼滤波基础理论回顾

在深入讨论拓展卡尔曼滤波之前，回顾卡尔曼滤波（Kalman Filter, KF）的理论基础至关重要。卡尔曼滤波是一种递推式的最优估计算法，它通过利用系统状态方程和观测方程，基于先验估计和观测数据，不断迭代修正状态变量，从而得到系统状态的最优估计。卡尔曼滤波的核心在于预测和更新两个步骤。

预测步骤：利用系统状态方程，基于上一时刻的状态估计，预测当前时刻的状态，并预测状态估计的协方差矩阵，反映预测的不确定性。
更新步骤：利用观测方程，结合当前时刻的观测数据，计算卡尔曼增益，并利用卡尔曼增益对预测的状态进行修正，从而得到当前时刻的最优状态估计。同时更新状态估计的协方差矩阵，减小估计的不确定性。

卡尔曼滤波的优势在于其计算效率高，能够实时处理数据，并且具有良好的抗噪声性能。然而，卡尔曼滤波的适用前提是系统模型和观测模型均为线性模型，且噪声服从高斯分布。对于非线性系统，直接应用卡尔曼滤波会导致估计精度下降，甚至发散。

二、拓展卡尔曼滤波（EKF）的原理与实现

针对非线性系统的状态估计问题，拓展卡尔曼滤波（EKF）通过泰勒展开对非线性函数进行一阶线性化处理，将非线性系统近似为线性系统，然后应用卡尔曼滤波的框架进行状态估计。具体来说，EKF的实现过程如下：

系统建模：建立非线性系统模型，包括状态方程和观测方程：
- 状态方程： x_k = f(x_{k-1}, u_k, w_k)，其中 x_k 为 k 时刻的状态向量，x_{k-1} 为 k-1 时刻的状态向量，u_k 为控制输入，w_k 为过程噪声，f 为非线性状态转移函数。
- 观测方程： z_k = h(x_k, v_k)，其中 z_k 为 k 时刻的观测向量，h 为非线性观测函数，v_k 为观测噪声。
线性化：将非线性状态转移函数 f 和非线性观测函数 h 在上一时刻的状态估计值 x_{k-1} 处进行一阶泰勒展开，得到其线性化的雅可比矩阵：
- 状态转移矩阵： F_k = ∂f/∂x|_{x=x_{k-1}}
- 观测矩阵： H_k = ∂h/∂x|_{x=x_k}
预测步骤：
- 状态预测： x_{k|k-1} = f(x_{k-1|k-1}, u_k, 0)，利用上一时刻的最优状态估计 x_{k-1|k-1} 和控制输入 u_k，预测当前时刻的状态 x_{k|k-1}。
- 协方差预测： P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k，其中 P_{k-1|k-1} 为上一时刻的状态估计协方差，Q_k 为过程噪声的协方差矩阵。
更新步骤：
- 预测观测： z_{k|k-1} = h(x_{k|k-1}, 0)，利用预测的状态 x_{k|k-1} 预测当前的观测值 z_{k|k-1}。
- 新息： y_k = z_k - z_{k|k-1}，计算实际观测值 z_k 与预测观测值 z_{k|k-1} 之间的差异，即新息。
- 新息协方差： S_k = H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k，其中 R_k 为观测噪声的协方差矩阵。
- 卡尔曼增益： K_k = P_{k|k-1} H_k^T S_k^{-1}
- 状态更新： x_{k|k} = x_{k|k-1} + K_k y_k，利用卡尔曼增益 K_k 修正预测的状态 x_{k|k-1}，得到当前时刻的最优状态估计 x_{k|k}。
- 协方差更新： P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}，更新状态估计的协方差矩阵 P_{k|k}。

通过上述步骤，EKF能够不断递推更新状态估计，实现对非线性系统状态的滤波与跟踪。

三、EKF的优势与局限性

EKF作为一种常用的非线性滤波算法，具有以下优势：

易于实现： EKF的算法流程清晰，易于理解和实现，在许多应用场景下能够取得良好的效果。
计算效率相对较高：相比于其他非线性滤波算法，如粒子滤波（Particle Filter），EKF的计算复杂度较低，适用于实时性要求较高的场合。
广泛的应用： EKF已被广泛应用于机器人导航、目标跟踪、姿态估计、参数辨识等领域。

然而，EKF也存在一些局限性：

依赖于线性化假设： EKF通过泰勒展开进行线性化处理，当非线性程度较高时，线性化误差会较大，导致估计精度下降甚至发散。
需要计算雅可比矩阵： EKF需要计算状态转移函数和观测函数的雅可比矩阵，对于复杂的系统模型，计算雅可比矩阵可能会比较困难，甚至无法求解。
对初始值敏感： EKF对初始状态估计值比较敏感，如果初始值偏差较大，可能会导致估计结果不准确。
高斯假设： EKF假设过程噪声和观测噪声服从高斯分布，如果噪声分布与高斯分布偏差较大，则估计精度会受到影响。

📣 部分代码

function [...    nextQuat, ... % quaternion state vector after fusion of measurements    nextStates, ... % state vector after fusion of measurements    nextP, ... % state covariance matrix after fusion of corrections    innovation, ... % Declination innovation - rad    varInnov] ... %    = fuseYaw321( ...    quat, ... % predicted quaternion states    states, ... % predicted states    P, ... % predicted covariance    yaw321, ... % body frame magnetic flux measurements    Tbn)  % Estimated coordinate transformation matrix from body to NED frameq0 = quat(1);q1 = quat(2);q2 = quat(3);q3 = quat(4);R_OBS = 0.2^2;H = calcH_YAW321(q0,q1,q2,q3);varInnov = (H*P*transpose(H) + R_OBS);Kfusion = (P*transpose(H))/varInnov;eulYaw321_pre = atan(Tbn(2,1)/Tbn(1,1));innovation = yaw321 - eulYaw321_pre;if (innovation > pi)    innovation = innovation - 2*pi;elseif (innovation < -pi)    innovation = innovation + 2*pi;endif (innovation > 0.5)    innovation = 0.5;elseif (innovation < -0.5)    innovation = -0.5;end% correct the state vectorstates(1:3) = 0;states = states + Kfusion * innovation;% the first 3 states represent the angular misalignment vector. This is% is used to correct the estimate quaternion% Convert the error rotation vector to its equivalent quaternion% error = truth - estimaterotationMag = sqrt(states(1)^2 + states(2)^2 + states(3)^2);if rotationMag<1e-6    deltaQuat = single([1;0;0;0]);else    deltaQuat = [cos(0.5*rotationMag); [states(1);states(2);states(3)]/rotationMag*sin(0.5*rotationMag)];end% Update the quaternion states by rotating from the previous attitude through% the delta angle rotation quaternionnextQuat = [quat(1)*deltaQuat(1)-transpose(quat(2:4))*deltaQuat(2:4); quat(1)*deltaQuat(2:4) + deltaQuat(1)*quat(2:4) + cross(quat(2:4),deltaQuat(2:4))];% normalise the updated quaternion statesquatMag = sqrt(nextQuat(1)^2 + nextQuat(2)^2 + nextQuat(3)^2 + nextQuat(4)^2);if (quatMag > 1e-6)    nextQuat = nextQuat / quatMag;end% correct the covariance P = P - K*H*PP = P - Kfusion*H*P;% Force symmetry on the covariance matrix to prevent ill-conditioning% of the matrix which would cause the filter to blow-upP = 0.5*(P + transpose(P));% ensure diagonals are positivefor i=1:9    if P(i,i) < 0        P(i,i) = 0;    endend% Set default output for states and covariancenextP = P;nextStates = states;end