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🔥 内容介绍
数据滤波与跟踪是信息处理领域中至关重要的环节,广泛应用于导航、控制、目标跟踪、信号处理等诸多领域。由于现实世界的系统通常具有非线性特征,传统的线性滤波方法难以满足精度要求,因此,非线性滤波技术应运而生。拓展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter, EKF)作为一种重要的非线性滤波算法,通过对非线性系统进行局部线性化处理,实现了对非线性系统的状态估计。本文将深入探讨基于拓展卡尔曼滤波的数据滤波跟踪方法,重点分析其原理、实现过程以及在实际应用中的优势与局限性。
一、卡尔曼滤波基础理论回顾
在深入讨论拓展卡尔曼滤波之前,回顾卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)的理论基础至关重要。卡尔曼滤波是一种递推式的最优估计算法,它通过利用系统状态方程和观测方程,基于先验估计和观测数据,不断迭代修正状态变量,从而得到系统状态的最优估计。卡尔曼滤波的核心在于预测和更新两个步骤。
-
预测步骤: 利用系统状态方程,基于上一时刻的状态估计,预测当前时刻的状态,并预测状态估计的协方差矩阵,反映预测的不确定性。
-
更新步骤: 利用观测方程,结合当前时刻的观测数据,计算卡尔曼增益,并利用卡尔曼增益对预测的状态进行修正,从而得到当前时刻的最优状态估计。同时更新状态估计的协方差矩阵,减小估计的不确定性。
卡尔曼滤波的优势在于其计算效率高,能够实时处理数据,并且具有良好的抗噪声性能。然而,卡尔曼滤波的适用前提是系统模型和观测模型均为线性模型,且噪声服从高斯分布。对于非线性系统,直接应用卡尔曼滤波会导致估计精度下降,甚至发散。
二、拓展卡尔曼滤波(EKF)的原理与实现
针对非线性系统的状态估计问题,拓展卡尔曼滤波(EKF)通过泰勒展开对非线性函数进行一阶线性化处理,将非线性系统近似为线性系统,然后应用卡尔曼滤波的框架进行状态估计。具体来说,EKF的实现过程如下:
-
系统建模: 建立非线性系统模型,包括状态方程和观测方程:
-
状态方程:
x_k = f(x_{k-1}, u_k, w_k)
,其中x_k
为k
时刻的状态向量,x_{k-1}
为k-1
时刻的状态向量,u_k
为控制输入,w_k
为过程噪声,f
为非线性状态转移函数。 -
观测方程:
z_k = h(x_k, v_k)
,其中z_k
为k
时刻的观测向量,h
为非线性观测函数,v_k
为观测噪声。
-
-
线性化: 将非线性状态转移函数
f
和非线性观测函数h
在上一时刻的状态估计值x_{k-1}
处进行一阶泰勒展开,得到其线性化的雅可比矩阵:-
状态转移矩阵:
F_k = ∂f/∂x|_{x=x_{k-1}}
-
观测矩阵:
H_k = ∂h/∂x|_{x=x_k}
-
-
预测步骤:
-
状态预测:
x_{k|k-1} = f(x_{k-1|k-1}, u_k, 0)
,利用上一时刻的最优状态估计x_{k-1|k-1}
和控制输入u_k
,预测当前时刻的状态x_{k|k-1}
。 -
协方差预测:
P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k
,其中P_{k-1|k-1}
为上一时刻的状态估计协方差,Q_k
为过程噪声的协方差矩阵。
-
-
更新步骤:
-
预测观测:
z_{k|k-1} = h(x_{k|k-1}, 0)
,利用预测的状态x_{k|k-1}
预测当前的观测值z_{k|k-1}
。 -
新息:
y_k = z_k - z_{k|k-1}
,计算实际观测值z_k
与预测观测值z_{k|k-1}
之间的差异,即新息。 -
新息协方差:
S_k = H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k
,其中R_k
为观测噪声的协方差矩阵。 -
卡尔曼增益:
K_k = P_{k|k-1} H_k^T S_k^{-1}
-
状态更新:
x_{k|k} = x_{k|k-1} + K_k y_k
,利用卡尔曼增益K_k
修正预测的状态x_{k|k-1}
,得到当前时刻的最优状态估计x_{k|k}
。 -
协方差更新:
P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}
,更新状态估计的协方差矩阵P_{k|k}
。
-
通过上述步骤,EKF能够不断递推更新状态估计,实现对非线性系统状态的滤波与跟踪。
三、EKF的优势与局限性
EKF作为一种常用的非线性滤波算法,具有以下优势:
-
易于实现: EKF的算法流程清晰,易于理解和实现,在许多应用场景下能够取得良好的效果。
-
计算效率相对较高: 相比于其他非线性滤波算法,如粒子滤波(Particle Filter),EKF的计算复杂度较低,适用于实时性要求较高的场合。
-
广泛的应用: EKF已被广泛应用于机器人导航、目标跟踪、姿态估计、参数辨识等领域。
然而,EKF也存在一些局限性:
-
依赖于线性化假设: EKF通过泰勒展开进行线性化处理,当非线性程度较高时,线性化误差会较大,导致估计精度下降甚至发散。
-
需要计算雅可比矩阵: EKF需要计算状态转移函数和观测函数的雅可比矩阵,对于复杂的系统模型,计算雅可比矩阵可能会比较困难,甚至无法求解。
-
对初始值敏感: EKF对初始状态估计值比较敏感,如果初始值偏差较大,可能会导致估计结果不准确。
-
高斯假设: EKF假设过程噪声和观测噪声服从高斯分布,如果噪声分布与高斯分布偏差较大,则估计精度会受到影响。
📣 部分代码
function [...
nextQuat, ... % quaternion state vector after fusion of measurements
nextStates, ... % state vector after fusion of measurements
nextP, ... % state covariance matrix after fusion of corrections
innovation, ... % Declination innovation - rad
varInnov] ... %
= fuseYaw321( ...
quat, ... % predicted quaternion states
states, ... % predicted states
P, ... % predicted covariance
yaw321, ... % body frame magnetic flux measurements
Tbn) % Estimated coordinate transformation matrix from body to NED frame
q0 = quat(1);
q1 = quat(2);
q2 = quat(3);
q3 = quat(4);
R_OBS = 0.2^2;
H = calcH_YAW321(q0,q1,q2,q3);
varInnov = (H*P*transpose(H) + R_OBS);
Kfusion = (P*transpose(H))/varInnov;
eulYaw321_pre = atan(Tbn(2,1)/Tbn(1,1));
innovation = yaw321 - eulYaw321_pre;
if (innovation > pi)
innovation = innovation - 2*pi;
elseif (innovation < -pi)
innovation = innovation + 2*pi;
end
if (innovation > 0.5)
innovation = 0.5;
elseif (innovation < -0.5)
innovation = -0.5;
end
% correct the state vector
states(1:3) = 0;
states = states + Kfusion * innovation;
% the first 3 states represent the angular misalignment vector. This is
% is used to correct the estimate quaternion
% Convert the error rotation vector to its equivalent quaternion
% error = truth - estimate
rotationMag = sqrt(states(1)^2 + states(2)^2 + states(3)^2);
if rotationMag<1e-6
deltaQuat = single([1;0;0;0]);
else
deltaQuat = [cos(0.5*rotationMag); [states(1);states(2);states(3)]/rotationMag*sin(0.5*rotationMag)];
end
% Update the quaternion states by rotating from the previous attitude through
% the delta angle rotation quaternion
nextQuat = [quat(1)*deltaQuat(1)-transpose(quat(2:4))*deltaQuat(2:4); quat(1)*deltaQuat(2:4) + deltaQuat(1)*quat(2:4) + cross(quat(2:4),deltaQuat(2:4))];
% normalise the updated quaternion states
quatMag = sqrt(nextQuat(1)^2 + nextQuat(2)^2 + nextQuat(3)^2 + nextQuat(4)^2);
if (quatMag > 1e-6)
nextQuat = nextQuat / quatMag;
end
% correct the covariance P = P - K*H*P
P = P - Kfusion*H*P;
% Force symmetry on the covariance matrix to prevent ill-conditioning
% of the matrix which would cause the filter to blow-up
P = 0.5*(P + transpose(P));
% ensure diagonals are positive
for i=1:9
if P(i,i) < 0
P(i,i) = 0;
end
end
% Set default output for states and covariance
nextP = P;
nextStates = states;
end
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