【滤波跟踪】基于拓展卡尔曼滤波kalman实现数据滤波附Matlab代码

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🔥 内容介绍

卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)作为一种递归的估计器，能够在含有噪声的动态系统中对系统状态进行最优估计。它以其严谨的数学理论和卓越的滤波性能，在诸多领域得到广泛应用，例如导航、控制、目标跟踪等。然而，传统的卡尔曼滤波算法是建立在线性系统和高斯噪声假设之上的。当系统模型或者测量模型中包含非线性因素时，传统的卡尔曼滤波算法的性能将会显著下降，甚至导致滤波发散。为了解决这个问题，人们提出了多种非线性卡尔曼滤波算法，其中拓展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter, EKF)是最为常见和广泛应用的一种。本文将深入探讨拓展卡尔曼滤波的原理、实现方法，并分析其在数据滤波方面的优势和局限性。

拓展卡尔曼滤波的原理

拓展卡尔曼滤波的核心思想是利用泰勒展开对非线性系统进行线性化处理，然后应用标准的卡尔曼滤波框架进行状态估计。具体来说，对于一个非线性离散系统，其状态转移方程和观测方程可以表示为：x_k = f(x_{k-1}, u_{k-1}, w_{k-1}) z_k = h(x_k, v_k)

其中：

x_k 是 k 时刻的状态向量；
u_k 是 k 时刻的控制输入向量；
z_k 是 k 时刻的观测向量；
w_k 是系统噪声向量，假设服从均值为零，协方差矩阵为 Q 的高斯分布；
v_k 是测量噪声向量，假设服从均值为零，协方差矩阵为 R 的高斯分布；
f(.) 是非线性状态转移函数；
h(.) 是非线性观测函数。

EKF的滤波过程可以分为预测和更新两个步骤：

1. 预测 (Prediction):

状态预测 (State Prediction): 利用非线性状态转移函数预测当前时刻的状态：
```
x_{k|k-1} = f(x_{k-1|k-1}, u_{k-1}, 0) 
```
这里 x_{k|k-1} 表示根据 k-1 时刻的信息对 k 时刻状态的预测值，x_{k-1|k-1} 表示 k-1 时刻的状态估计值，将系统噪声 w_{k-1} 设为期望值 0 进行预测。
协方差预测 (Covariance Prediction): 对状态协方差矩阵进行预测：

P_{k|k-1} = F_{k-1} P_{k-1|k-1} F_{k-1}^T + Q

其中 P_{k|k-1} 表示 k 时刻的预测协方差矩阵，P_{k-1|k-1} 表示 k-1 时刻的估计协方差矩阵，F_{k-1} 是状态转移函数 f(.) 在 x_{k-1|k-1} 处的雅可比矩阵，即：

F_{k-1} = ∂f(x_{k-1}, u_{k-1}, w_{k-1}) / ∂x_{k-1} |_{x_{k-1}=x_{k-1|k-1}, w_{k-1}=0}

2. 更新 (Update):

卡尔曼增益 (Kalman Gain): 计算卡尔曼增益，用于融合预测值和测量值：

K_k = P_{k|k-1} H_k^T (H_k P_{k|k-1} H_k^T + R)^{-1}

其中 K_k 表示 k 时刻的卡尔曼增益，H_k 是观测函数 h(.) 在 x_{k|k-1} 处的雅可比矩阵，即：

H_k = ∂h(x_k, v_k) / ∂x_k |_{x_k=x_{k|k-1}, v_k=0}
状态更新 (State Update): 利用卡尔曼增益将预测状态和测量信息融合，得到状态估计：
```
x_{k|k} = x_{k|k-1} + K_k (z_k - h(x_{k|k-1}, 0)) 
```
这里 x_{k|k} 表示 k 时刻的状态估计值，z_k 是 k 时刻的测量值。
协方差更新 (Covariance Update): 更新状态协方差矩阵：
```
P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1} 
```
其中 P_{k|k} 表示 k 时刻的估计协方差矩阵，I 是单位矩阵。

通过迭代执行预测和更新两个步骤，EKF能够递归地对非线性系统的状态进行估计，从而实现数据滤波。

拓展卡尔曼滤波在数据滤波方面的优势

与传统的线性滤波方法相比，EKF在处理非线性系统的数据滤波问题上具有显著的优势：

适用于非线性系统: EKF通过泰勒展开对非线性系统进行线性化处理，使其能够应用于具有非线性状态转移方程和观测方程的系统，极大地扩展了卡尔曼滤波的应用范围。
考虑了系统噪声和测量噪声: EKF在滤波过程中考虑了系统噪声和测量噪声的影响，能够有效地抑制噪声干扰，提高数据滤波的精度和鲁棒性。
能够进行状态估计: EKF不仅能够对状态进行滤波，还能估计系统的状态，例如速度、加速度等，这对于控制、导航等应用至关重要。
实时性: EKF是一种递归算法，只需要上一时刻的状态估计值和当前时刻的测量值，即可进行状态估计，具有良好的实时性，适用于在线数据滤波。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

📣 部分代码

                        function [Xo,Po] = Extended_KF(f,g,Q,R,Z,X,P,Xstate)N_state = length(Xstate);N_obs = length(Z);    Xp = subs(f,Xstate,X);%1fy = subs(jacobian(f,Xstate),Xstate,Xp);%2H = subs(jacobian(g,Xstate),Xstate,Xp);%3Pp = fy * P * fy.' + Q;%4K = Pp * H' * inv(H * Pp * H.' + R);%5    Xo = Xp + K * (Z - subs(g,Xstate,Xp));%6I = eye(N_state,N_state);Po = [I - K * H] * Pp;%7