变分法中的欧拉方程的细致讲解&详细推导

前言

本文的参考书目为欧斐君编著的《变分法及其应用——物理、力学、工程中的经典建模》。由于某位大佬给了我这本书的PDF，也开启了我的变分法学习之旅。因为被变分法的欧拉方程惊艳到了，所以决定将边学边抄书。因为书中只推导了二维、低次的情形，于是我把每种情形的高维高次的情形都推导了一遍，并且许多证明是我按照自己的理解写的，因此证明过程和书中略有区别。我将所有结论放到了最后一章节「总结」部分。

吐槽：为什么优快云用的 KaTeX渲染的公式。。。KaTeX不支持 ref 和 label ，我本地的 Typora 用的 MathJax 渲染的，链接索引都白写了（大哭）

0、泛函的概念

在高中，我们学过映射，函数其实就是一种映射法则。

举个例子，苹果的单价为 $3\left(\text{元}/\text{斤}\right)$ ，那么假设苹果的斤数为 $x\left(\text{斤}\right)$ ，苹果的价格为 $y\left(\text{元}\right)$ 。此时有函数关系 $y=f\left(x\right)=3x$ 。因为自变量「苹果的斤数」的取值范围是实数集 $\mathbb{R}$ ，因变量「苹果的价格」的取值范围也是实数集 $\mathbb{R}$ ，所以我们认为这里的函数关系是 $\mathbb{R}\stackrel{f}{\to }\mathbb{R}$ 。

但有时候，我们我们希望研究「在一定条件下的最优函数」。例如已知可微曲线过定点 $\left(0,0\right)$ 和 $\left(1,2\right)$ ，求满足条件的最短曲线。如果我们假设曲线为 $y=f\left(x\right)$ ，我们知道弧长表达式为
$$I\left[f\left(\cdot \right)\right]={\int }_0^{1}F\left(x,f,f^{\prime }\right)\mathrm{d}x={\int }_0^1\sqrt{1+{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(0.1)}$$
此处函数 $I\left[f\left(\cdot \right)\right]$ 的自变量 $f$ 属于二次可微函数集 $C_{\left[0,1\right]}^{\left(2\right)}$。也就是说我们可以看作函数 $I$ 是自变量为函数，因变量为实数的函数。换句话说，函数 $I$ 是函数的函数，我们称之为泛函。或者可以记为 $C_{\left[0,1\right]}^{\left(2\right)}\stackrel{I}{\to }\mathbb{R}$ 。

换一个角度看，泛函相当于为每个函数赋予了一个实数值，从而将研究「在一定条件下的最优函数」的问题，转化为了泛函数求最值的问题。而「非边界点的最值的必要条件是极值」，再回忆高数讲的费马引理——「函数极值的必要条件是导数为 $0$ 」，从而我们可以「通过求导来研究最值/极值问题」。那么，我们能不能把这一结论推广到泛函呢？这就是我们本文要讲的欧拉方程了。

1、变分学基本引理

因为整个变分中都会大量用到这个引理，所以书中将其提出来单独作为一个引理。

当然，这个引理也是相当直观的，直观上，如果一个函数 $f\left(x\right)$ 和任一高阶可微的函数 $\eta \left(x\right)$ 正交，那么这个函数理应满足 $f\left(x\right)\equiv 0$ 。

引理内容

如果 $f\left(x\right)$ 在 $\left[x_1,x_2\right]$ 上连续， $\eta \left(x\right)$ 是在 $\left[x_1,x_2\right]$ 上 $N$ 次可微的任意函数（ $N$ 可为任意自然数）。如果对于任意的 $\eta \left(x\right)$ ，都恒有

$${\int }_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)\eta \left(x\right)\mathrm{d}x=0\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

则必有

$$f\left(x\right)\equiv 0,x\in \left[x_1,x_2\right]$$

引理的理解与说明

其实这个条引理相当直观，我们知道：函数向量 $f\left(x\right)$ 和 $\eta \left(x\right)$ 的内积是 ${\int }_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)\eta \left(x\right)\mathrm{d}x$ 。如果某个函数向量 $f\left(x\right)$ 和任意函数 $\eta \left(x\right)$ 都正交，唯一的可能就是——这个函数 $f\left(x\right)$ 是零向量，即 $f\left(x\right)\equiv 0$ 。

实际上，原书中还要求了边界条件 $\eta \left(x_1\right)=\eta \left(x_2\right)=0$ ，但这一边界条件是不必要的，虽然我们一般都会假设它成立，用以作为边界条件。

这个定理的证明也很简单，采用了反证法。

假设有一个点 $x_0$ 非 $0$ ，不妨假设 $f\left(x_0\right)>0$ ，由连续性，我们就能找到一个区间 $x_0\in \left[{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2\right]$ 上函数恒正。我们再找一个恒正的 $2n-1$ 次可微函数 $\eta \left(x\right)={\left(x-{\bar{x}}_1\right)}^{2n}{\left(x-{\bar{x}}_2\right)}^{2n},x\in \left[{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2\right]$ ，其中函数在区间外取 $0$ 。那么 $f\left(x\right)\eta \left(x\right)$ 在 $\left[{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2\right]$ 上恒正，其余点为 $0$ ，积分必大于 $0$ ，这与式 $\left(1.1\right)$ 矛盾，因此$f\left(x\right)$ 处处为 $0$ ，即 $f\left(x\right)\equiv 0$ 。

之所以说称这个定理为「变分学基本引理」，我们可以换一个更简洁明了的角度来说明这个定理。其实这个定理说明的是这样一个结论——
$$\forall \eta \left(x\right),{\int }_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)\eta \left(x\right)\mathrm{d}x=0\Rightarrow f\left(x\right)\equiv 0,x\in \left[{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2\right]\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
我们可以通过这个定理去掉泛函的积分以及任意函数 $\eta \left(x\right)$ ，因此，只要涉及积分的泛函，就逃不开这个定理。

2、单方程单变量欧拉方程

2.1、单方程单变量一次的欧拉方程的证明

定理内容

设泛函
$$I\left[y\left(\cdot \right)\right]={\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,y,y^{\prime }\right)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
其中 $F$ 是有着三个独立变量的已知函数，且具有二阶连续偏导数，其可取函数集为
$${\mathbb{Y}}_{1,1,1}=\left\{y\left(x\right)|\begin{array}{l}y\left(x\right)\in C_{\left[x_1,x_2\right]}^{\left(2\right)}\\ y\left(x_1\right)=y_1,y\left(x_2\right)=y_2\end{array}\right\}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
$Y\left(x\right)\in {\mathbb{Y}}_{1,1,1}$ 使泛函 $\left(2.1\right)$ 取得极小值的必要条件是： $Y\left(x\right)$ 是微分方程 $\left(2.3\right)$ 的解
$$F_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{y^{\prime }}=0\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
其中 $F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=F_2^{\prime }$ ， $F_{y^{\prime }}=\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=F_3^{\prime }$ 。

定理的理解与证明

我们知道，一元函数极值得到必要条件为 $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ ，即 ${\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}=0$ ，亦即 ${\left[\frac{\mathrm{d}f\left(x_0+\alpha \right)}{\mathrm{d}\alpha }\right]|}_{\alpha =0}=0$ 。那么泛函的 $f^{\prime }\left(x_0\right)={\left[\frac{\mathrm{d}f\left(x_0+\alpha \right)}{\mathrm{d}\alpha }\right]|}_{\alpha =0}$ 应当对应了什么呢？

对于我们期望的极值函数 $Y\left(x\right)$ ，它应当满足这样的性质——我们将其叠加上一个任意的函数 $\alpha \cdot \eta \left(x\right)$ ，只要能使得 $y\left(x\right)=Y\left(x\right)+\alpha \cdot \eta \left(x\right)$ 满足边界条件 $\left(2.2\right)$ ，就有 ${\left[\frac{\mathrm{d}I\left(Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha }\right]|}_{\alpha =0}=0$ 。其中 $\alpha$ 是一个充分小的实数，我们期望它的行为类似于 $\mathrm{d}x$ ， $\eta \left(x\right)$ 是满足条件 $\left(2.4\right)$ 的任意函数
$${\mathbb{Y}}_{1,1,1}^{\left(0\right)}=\left\{\eta \left(x\right)|\begin{array}{l}\eta \left(x\right)\in C_{\left[x_1,x_2\right]}^{\left(2\right)}\\ \eta \left(x_1\right)=0,\eta \left(x_2\right)=0\end{array}\right\}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

注1： $\alpha$ 理论上是可以任意实数，但实际上我们只会用到 ${\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }I\left[y\left(\cdot \right)\right]\right]|}_{\alpha =0}$ ，所以我们可以把 $\alpha$ 当作类似于 $\epsilon$ 的工具人（笑）。
注2： $\eta$ 满足的 ${\mathbb{Y}}_{1,1,1}^{\left(0\right)}$ 和 $y$ 满足的 ${\mathbb{Y}}_{1,1,1}$ 唯一区别就在于边界条件为零，这是为了确保 $Y,y\in {\mathbb{Y}}_{1,1,1}$ 。

那么，就让我们来求一下 ${\left[\frac{\mathrm{d}I\left(Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha }\right]|}_{\alpha =0}$ 吧！

首先
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}I\left(Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha }& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }{\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,Y+\alpha \eta ,Y^{\prime }+\alpha {\eta }^{\prime }\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\eta \frac{\partial F\left(x,Y+\alpha \eta ,Y^{\prime }+\alpha {\eta }^{\prime }\right)}{\partial y}+{\eta }^{\prime }\frac{\partial F\left(x,Y+\alpha \eta ,Y^{\prime }+\alpha {\eta }^{\prime }\right)}{\partial y^{\prime }}\right)\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
因此
$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{\mathrm{d}I\left(Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha }\right]|}_{\alpha =0}& ={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\eta \frac{\partial F\left(x,Y,Y^{\prime }\right)}{\partial y}+{\eta }^{\prime }\frac{\partial F\left(x,Y,Y^{\prime }\right)}{\partial y^{\prime }}\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\eta \frac{\partial F}{\partial y}+{\eta }^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$
针对积分 ${\int }_{x_1}^{x_2}\left({\eta }^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\mathrm{d}x$ 应用一次分部积分，得到
$$\begin{array}{rl}{\int }_{x_1}^{x_2}{\eta }^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\mathrm{d}x& ={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\mathrm{d}\eta \\ & ={\left(\eta \frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)|}_{x=x_1}^{x=x_2}-{\int }_{x_1}^{x_2}\eta \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\mathrm{d}x\\ & =-{\int }_{x_1}^{x_2}\eta \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$
结合 $\left(2.6\right)$ 和 $\left(2.7\right)$ 可以得到

$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{\mathrm{d}I\left(Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha }\right]|}_{\alpha =0}& ={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\eta \frac{\partial F}{\partial y}+{\eta }^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}\eta \left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(2.8)}$$
根据变分学基本引理 $\left(1.2\right)$ ，自然得到
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=0\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

2.2、单方程单变量高次的欧拉方程的证明

实际上， $\left(2.9\right)$ 很容易向高次情形推广。如果约定 $\frac{{\mathrm{d}}^0}{\mathrm{d}{x}^0}y=y$ ， $\left(2.9\right)$ 可以改写为
$$\sum _{k=0}^1{\left(-1\right)}^k\left(\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(k\right)}}\right)=0\text{\hspace{1em}(2.10)}$$
为什么要写得这么复杂呢？这是为了方便后续的推广。

定理内容

设高阶泛函
$$I\left[y\left(\cdot \right)\right]={\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\cdots ,y^{\left(n\right)}\right)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.11)}$$
其可取函数集为
$${\mathbb{Y}}_{1,1,n}=\left\{y\left(x\right)|\begin{array}{l}y\left(x\right)\in C_{\left[x_1,x_2\right]}^{\left(2n\right)}\\ y^{\left(k\right)}\left(x_1\right)=y_1^{\left(k\right)},y^{\left(k\right)}\left(x_2\right)=y_2^{\left(k\right)},k=0,1,\cdots ,n-1\end{array}\right\}\text{\hspace{1em}(2.12)}$$
$Y\left(x\right)\in {\mathbb{Y}}_{1,1,n}$ 使泛函 $\left(2.11\right)$ 取得极小值的必要条件是： $Y\left(x\right)$ 是微分方程 $\left(2.13\right)$ 的解
$$F_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{y^{\prime }}+\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}{F}_{y^{\prime \prime }}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{F}_{y^{\left(n\right)}}=0\text{\hspace{1em}(2.13)}$$
或者用求和的形式记录之，则为
$$\sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k\left(\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(k\right)}}\right)=0\text{\hspace{1em}(2.14)}$$
其中 $\frac{\partial F}{\partial y^{\left(k\right)}}=F_{y^{\left(k\right)}}$ 。

定理的理解与证明

该证明的核心就在于将 ${\eta }^{\left(n\right)}$ 转化为 $\eta$ ，然后用变分学基本引理进行证明。

回忆一下： $1$ 阶情形的证明方式是进行 $1$ 次分部积分。因此，我们不难想象 $n$ 阶的证明也是基于 $n$ 次分部积分。

我们不加证明（事实上，证明只需对函数进行 $n$ 次分部积分即可，十分显明）地引入 $n$ 次分部积分的引理——

若 ${\eta }^{\left(k\right)}\left(x_1\right)=0,{\eta }^{\left(k\right)}\left(x_2\right)=0,k=0,1,\cdots ,n-1$ ，则
$${\int }_{x_1}^{x_2}{\eta }^{\left(n\right)}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}\mathrm{d}x={\left(-1\right)}^n{\int }_{x_1}^{x_2}\eta \left(\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}\right)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.15)}$$
后续的证明仿照 $\left(2.9\right)$ 其实就水到渠成了。

首先
$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{\mathrm{d}I\left(Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha }\right]|}_{\alpha =0}& ={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\eta \frac{\partial F\left(x,Y,Y^{\prime },\cdots ,Y^{\left(n\right)}\right)}{\partial y}+{\eta }^{\prime }\frac{\partial F\left(x,Y,Y^{\prime }\right)}{\partial y^{\prime }},\cdots ,Y^{\left(n\right)}\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\eta \frac{\partial F}{\partial y}+{\eta }^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}+\cdots ++{\eta }^{\left(n\right)}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}\right)\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

应用分部积分引理 $\left(1.2\right)$ 可以得到

$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{\mathrm{d}I\left(Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha }\right]|}_{\alpha =0}& ={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\eta \frac{\partial F}{\partial y}+{\eta }^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}+\cdots +{\eta }^{\left(n\right)}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}\eta \left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}\right)\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(2.17)}$$
根据变分学基本引理 $\left(1.2\right)$ ，自然得到
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}=0\text{\hspace{1em}(2.18)}$$

2.3、单方程单变量习题——最短距离线与最速降线

最短距离线问题的变分求解

在本文开篇，我们用了一个脍炙人口的问题来引入。我们考虑过定点 $\left(0,0\right)$ 和 $\left(1,2\right)$ 的全体曲线，求满足条件的长度最短曲线。

显然地，根据我们的直觉，连接两者的线段即为所求，但这一直觉并不能构成一个证明。有人倾向于这一结论应当作为一个公理，不过通过变分的方法，我们至少可以证明：针对二次可微曲线而言，连接两者的线段即为长度最短曲线（当然，这或许涉嫌循环论证，因为微积分的相关公理体系中或许蕴含了「连接两者的线段即为长度最短曲线」这一条件）。

我们知道弧长表达式为
$$I\left[y\left(\cdot \right)\right]={\int }_0^{1}F\left(x,y,y^{\prime }\right)\mathrm{d}x={\int }_0^1\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.19)}$$
那么极值曲线应当是什么呢？利用 $\left(2.9\right)$ 式，我们令 $F\left(x,y,y^{\prime }\right)=\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}$ ，我们写出对应的欧拉方程——
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}}=\frac{y^{\prime \prime }\left(1+{\left(y^{\prime }\right)}^2\right)-{\left(y^{\prime }\right)}^2}{{\left(1+{\left(y^{\prime }\right)}^2\right)}^{3/2}}=0\text{\hspace{1em}(2.20)}$$
解出 $y=C_{1}x+C_2$ ，也就是全体一次函数，结合边界条件，可知：连接两者的线段即为长度最短曲线。

最速降线问题的变分求解

还有一个在数学史上经典的问题：给定两点 $\left(0,0\right)$ 、 $\left(x_2,y_2\right)$ 。从 $\left(0,0\right)$ 处无初速度地释放一个小球，并用一个光滑曲面 $y=y\left(x\right)$ 连接这两点，求什么样的曲面会使得到达 $\left(x_2,y_2\right)$ 时间最短。

这一问题首先由伯努利提出。此后，牛顿、欧拉等著名大牛分别给出了他们的天秀解法，本文提到的变分法正是其中一个。因此，将最速降线问题作为变分法的例子，实在是再合适不过了。

我们考虑到 $\mathrm{d}s=v\mathrm{d}t$ ，其中

• 根据弧长公式 $\mathrm{d}s=\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}\mathrm{d}x$
• 根据能量守恒定律 $v^2=2gy$ ，有 $v=\sqrt{2gy}$

因此， $\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}s}{v}=\frac{\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}}{\sqrt{2gy}}\mathrm{d}x$ ，对两端积分，可构造出泛函
$$T\left[y\left(\cdot \right)\right]={\int }_0^{x_2}F\left(x,y,y^{\prime }\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{x_2}\frac{\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}}{\sqrt{y}}\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.19)}$$
那么极值曲线应当是什么呢？利用 $\left(2.9\right)$ 式，我们令 $F\left(x,y,y^{\prime }\right)=\frac{1}{\sqrt{2g}}\frac{\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}}{\sqrt{y}}$ ，我们写出对应的欧拉方程——
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2g}}\left(-\frac{\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}}{2y\sqrt{y}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{y^{\prime }}{\sqrt{y}\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}}\right)=0\text{\hspace{1em}(2.20)}$$
经过化简可得
$$\frac{2y^{\prime }{y}^{\prime \prime }}{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}+\frac{y^{\prime }}{y}=0\text{\hspace{1em}(2.21)}$$
对 $\mathrm{d}x$ 积分得
$$\int \left(\frac{2y^{\prime }{y}^{\prime \prime }}{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}+\frac{y^{\prime }}{y}\right)\mathrm{d}x=\int \left(\frac{\mathrm{d}{\left(y^{\prime }\right)}^2}{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}+\mathrm{d}\ln y\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\text{\hspace{1em}(2.22)}$$
经过简单的化简，得到
$$y\left[1+{\left(y^{\prime }\right)}^2\right]=C\Rightarrow \sqrt{\frac{y}{C-y}}\mathrm{d}y=\pm \mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.23)}$$
令 $y=\frac{C}{2}\left(1-\cos u\right)\Rightarrow \mathrm{d}y=\frac{C}{2}\sin u\mathrm{d}u$ ，代入可得
$$\frac{C}{2}\left(1-\cos u\right)\mathrm{d}u=\pm \mathrm{d}x\Rightarrow x=\pm \frac{C}{2}\left(u-\sin u\right)\text{\hspace{1em}(2.24)}$$
这就证明了最速降线必为滚轮线。

3、多方程单变量欧拉方程

在实际问题中，我们可能遇到多个独立变元一起出现的约束极值问题，例如给出两个变元 $y_1\left(x\right)$ 和 $y_2\left(x\right)$ ，并令 $F=y_1^{\prime 2}+y_2^{\prime 2}+2y_1{y}_2$ ，求泛函 $I\left[y_1\left(\cdot \right),y_2\left(\cdot \right)\right]={\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,y_1,y_2,y_1^{\prime },y_2^{\prime }\right)\mathrm{d}x$ 的极值。

3.1、两方程单变量一次的欧拉方程

先考虑两方程情形，令 $y_k=Y_k+\alpha {\eta }_k,k=1,2$ ，并令
$$\begin{array}{rl}\Phi \left(\alpha \right)& =I\left[y_1\left(\cdot \right),y_2\left(\cdot \right)\right]\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,Y_1+\alpha {\eta }_1,Y_2+\alpha {\eta }_2,Y_1^{\prime }+\alpha {\eta }_1^{\prime },Y_2^{\prime }+\alpha {\eta }_2^{\prime }\right)\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$
则函数组 $Y_k$ 使得泛函取得极值的必要条件为 ${\Phi }^{\prime }\left(0\right)=0$ ，即
$${\int }_{x_1}^{x_2}\left({\eta }_1\frac{\partial F}{\partial y_1}+{\eta }_1^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y_1^{\prime }}\right)\mathrm{d}x+{\int }_{x_1}^{x_2}\left({\eta }_2\frac{\partial F}{\partial y_2}+{\eta }_2^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y_2^{\prime }}\right)\mathrm{d}x=0\text{\hspace{1em}(3.2)}$$
应用分部积分引理 $\left(2.15\right)$ 可以得到
$${\int }_{x_1}^{x_2}{\eta }_1\left(\frac{\partial F}{\partial y_1}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_1^{\prime }}\right)\mathrm{d}x+{\int }_{x_1}^{x_2}{\eta }_2\left(\frac{\partial F}{\partial y_2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_2^{\prime }}\right)\mathrm{d}x=0\text{\hspace{1em}(3.3)}$$
根据变分学基本引理 $\left(1.2\right)$ ，以及 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 的任意性（如 ${\eta }_2=0$ ，此时就退化为了关于 ${\eta }_1$ 的单方程，然后应用变分学基本引理），自然得到「两方程单变量一次的欧拉方程」，即如下方程组
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial y_1}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_1^{{}^{\prime }}}=0\\ \frac{\partial F}{\partial y_2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_2^{{}^{\prime }}}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$
也就是说，对于两方程情形，对应泛函取到极值的必要条件为 $\left(3.4\right)$ 。

3.2、多方程单变量高次的欧拉方程

显然， $\left(3.4\right)$ 可以被自然地推广到多方程高次的情形。

先考虑 $M$ 个方程的情形，令 $y_m=Y_m+\alpha {\eta }_m,k=1,2,\cdots ,M$ ，其中第 $m$ 个方程涉及的最高阶导数为 $N_m$ 阶，此时
$$\begin{array}{rl}\Phi \left(\alpha \right)& =I\left[y_1\left(\cdot \right),\cdots ,y_M\left(\cdot \right)\right]\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,Y_1+\alpha {\eta }_1,\cdots ,Y_1^{\left(N_1\right)}+\alpha {\eta }_1^{\left(N_1\right)},\cdots ,Y_M+\alpha {\eta }_M,\cdots ,Y_M^{\left(N_M\right)}+\alpha {\eta }_M^{\left(N_M\right)}\right)\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(3.5)}$$
则函数组 $Y_k$ 使得泛函取得极值的必要条件为 ${\Phi }^{\prime }\left(0\right)=0$ ，即
$$\sum _{m=1}^M{\int }_{x_1}^{x_2}\left(\sum _{n=0}^{N_m}{\eta }_m^{\left(n\right)}\frac{\partial F}{\partial y_m^{\left(n\right)}}\right)\mathrm{d}x=0\text{\hspace{1em}(3.6)}$$
对里面那一坨积分应用分部积分引理 $\left(2.15\right)$ 可以得到
$$\sum _{m=1}^M{\int }_{x_1}^{x_2}{\eta }_m\left(\sum _{n=0}^{N_m}{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y_m^{\left(n\right)}}\right)\mathrm{d}x=0\text{\hspace{1em}(3.7)}$$
根据变分学基本引理 $\left(1.2\right)$ ，以及 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 的任意性（如 ${\eta }_2,{\eta }_3,\cdots ,{\eta }_M=0$ ，此时就退化为了关于 ${\eta }_1$ 的单方程，然后应用变分学基本引理），自然得到「多方程单变量高次的欧拉方程」，即如下方程组
$$\{\begin{array}{l}\sum _{n=0}^{N_1}{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y_1^{\left(n\right)}}=0\\ \sum _{n=0}^{N_2}{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y_2^{\left(n\right)}}=0\\ ⋮\\ \sum _{n=0}^{N_M}{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y_M^{\left(n\right)}}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$
也就是说，对于多方程高次情形，对应泛函取到极值的必要条件为 $\left(3.8\right)$ 。

4、多方程多变量欧拉方程

通常来说，因为我们现实世界是三维的，所以我们会遇到多变量的函数。例如电场强度函数可能就是一个三维 $\left(x,y,z\right)$ 函数，也就是三变量的函数。对于它的极值问题，我们依然可以类似地方法进行求解。

4.1、分部积分向高维的推广

我们将 ${\eta }^{\prime }$ 转化为 $\eta$ 中用到了一个重要的公式——分部积分公式。而分部积分公式基于「牛顿莱布尼茨公式」。而接下来我们要处理的函数，将是多变量的函数，此时我们就需要一个「高维的牛顿莱布尼茨公式」。幸运的是，我们高数学的「格林公式」和「高斯公式」正是「牛顿莱布尼茨公式」向高维的推广，它们的推广被称为「广义斯托克斯公式」。如果有对「广义斯托克斯公式」感兴趣的同学，可以看我的文章 从「广义斯托克斯公式」结合「外微分公式」导出「牛顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」_MamiyaHasaki的博客-优快云博客 。

假设函数 $\eta \left(x,y\right)$ 定义在区域 $D$ 上，区域 $D$ 的边界 $\partial D=L$ ，并满足边界条件： $\eta {|}_L=0$ 。

高数讲的格林公式是——
$${\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(4.1)}$$
将 $Q=\eta \cdot f,P=0$ 代入，考虑到 $\eta {|}_L=0$ ，得
$${\iint }_D\frac{\partial \left(\eta \cdot f\right)}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_L\eta \left(f\mathrm{d}y\right)=0\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
得
$${\iint }_D\left(\frac{\partial \eta }{\partial x}\right)f\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\iint }_D\eta \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
如果我们假设 $\eta {|}_L$ 满足 $n-1$ 次边界条件，即 $\eta {|}_L=0,{\frac{\partial \eta }{\partial x}|}_L=0,\cdots ,,{\frac{{\partial }^{n-1}\eta }{\partial x^{n-1}}|}_L=0$ ，那么就可以得到二维的 $n$ 次分部积分公式
$${\iint }_D\left(\frac{{\partial }^n\eta }{\partial x^n}\right)f\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y={\left(-1\right)}^n{\iint }_D\eta \left(\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^n}\right)\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
同理，令 $P=-\eta \cdot f,Q=0$ 代入
$${\iint }_D\left(\frac{{\partial }^n\eta }{\partial y^n}\right)f\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y={\left(-1\right)}^n{\iint }_D\eta \left(\frac{{\partial }^{n}f}{\partial y^n}\right)\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(4.5)}$$
当然，三维情形也是同理，我们采用高斯公式：
$${\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V=\iint \left(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma \right)\mathrm{d}S\text{\hspace{1em}(4.6)}$$
考虑区域 $\Omega$ 上的边界条件为 $\eta {|}_{\partial \Omega }=0$ ，代入 $P=\eta \cdot f,Q=0,R=0$ ，等式右端为 $0$
$${\iiint }_{\Omega }\frac{\partial \left(\eta \cdot f\right)}{\partial x}\mathrm{d}V=0\text{\hspace{1em}(4.7)}$$
进行分部积分得到
$${\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial \eta }{\partial x}\right)f\mathrm{d}V=-{\iiint }_{\Omega }\eta \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\mathrm{d}V\text{\hspace{1em}(4.8)}$$
仿照格林公式的方式，可以推广到每个维度的 $n$ 次分部积分，这里就不赘述了。

因为二维、三维的情形已经够用了，所以下面的内容没有必要看。但我个人想要进行一个任意维度的证明，所以还是写了。建议不知道广义斯托克斯公式的同学直接跳过，或者先行阅读我的文章 从「广义斯托克斯公式」结合「外微分公式」导出「牛顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」_MamiyaHasaki的博客-优快云博客 。

当然，我们可以将其自然地推广到 $M$ 维情形，考虑广义斯托克斯公式
$${\int }_{\Omega }\mathrm{d}\omega ={\int }_{\partial \Omega }\omega \text{\hspace{1em}(4.9)}$$
设 $M$ 维函数 $f=f\left(x_1,\cdots ,x_M\right)$ ，取 $\omega$ 为 $M-1$ 维的外微分形式
$$\begin{array}{rl}\omega & =P_1\left(\mathrm{d}{x}_2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_M\right)\\ & +\cdots \\ & +P_m\left(\mathrm{d}{x}_{m+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_M\wedge \mathrm{d}{x}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{m-1}\right)\\ & +\cdots \\ & +P_M\left(\mathrm{d}{x}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{M-1}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.10)}$$
则它的微分 $\mathrm{d}\omega$ 为
$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\omega & =\left(\frac{\partial P_1}{\partial x_1}+{\left(-1\right)}^{M-1}\frac{\partial P_2}{\partial x_2}+\frac{\partial P_3}{\partial x_3}+\cdots +{\left(-1\right)}^{M-1}\frac{\partial P_M}{\partial x_M}\right)\left(\mathrm{d}{x}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_M\right)\\ & =\left(\sum _{m=1}^M{\left(-1\right)}^{\left(M-1\right)\left(m-1\right)}\frac{\partial P_m}{\partial x_m}\right)\left(\mathrm{d}{x}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_M\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.11)}$$
令 $Q_m={\left(-1\right)}^{\left(M-1\right)\left(m-1\right)}{P}_m$ ，此时 $\mathrm{d}\omega =\left(\frac{\partial Q_1}{\partial x_1}+\cdots +\frac{\partial Q_M}{\partial x_M}\right)\left(\mathrm{d}{x}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_M\right)$ ，结合 $\left(4.9\right)$ 、 $\left(4.10\right)$ 、 $\left(4.11\right)$ 得到 $M$ 维的广义斯托克斯公式
$${\int }_{\Omega }\left(\sum _{m=1}^M\frac{\partial Q_m}{\partial x_m}\right)\left(\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_M\right)={\int }_{\partial \Omega }{P}_1\left(\mathrm{d}{x}_2\cdots \mathrm{d}{x}_M\right)+\cdots P_M\left(\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_{M-1}\right)\text{\hspace{1em}(4.12)}$$
令 $Q_m={\left(-1\right)}^{\left(M-1\right)\left(m-1\right)}{P}_m=\eta \cdot f$ ，其余为 $P_k=0,k\ne m$ ，得到
$${\int }_{\Omega }\frac{\partial \left(\eta \cdot f\right)}{\partial x_m}\left(\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_M\right)={\int }_{\partial \Omega }\eta \left(f\cdot \mathrm{d}{x}_{m+1}\cdots \mathrm{d}{x}_M\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_{m-1}\right)$$
如果我们假设 $\eta {|}_{\partial \Omega }$ 满足 $n-1$ 次边界条件，即 $\eta {|}_{\partial \Omega }=0,{\frac{\partial \eta }{\partial x}|}_{\partial \Omega }=0,\cdots ,,{\frac{{\partial }^{n-1}\eta }{\partial x^{n-1}}|}_{\partial \Omega }=0$ ，等式右端 ${\int }_{\partial \Omega }$ 项为 $0$ ，那么就可以得到 $M$ 维的 $n$ 次分部积分公式
$${\int }_{\Omega }\left(\frac{{\partial }^n\eta }{\partial {\left(x_m\right)}^n}\right)f\cdot \mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_M={\left(-1\right)}^n{\int }_{\Omega }\eta \left(\frac{{\partial }^{n}f}{\partial {\left(x_m\right)}^n}\right)\cdot \mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_M\text{\hspace{1em}(4.13)}$$

4.2、单方程两变量一次的欧拉方程

定理内容

设多元泛函
$$I\left[u\left(\cdot ,\cdot \right)\right]={\iint }_{D}F\left(x,y,u,u_x,u_y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(4.14)}$$
其可取函数集为
$${\mathbb{Y}}_{1,2,1}=\left\{y\left(x,y\right)|\begin{array}{l}u\left(x,y\right)\in C_D^{\left(2\right)}\\ u{|}_{\partial D}=f\left(M\right)\end{array}\right\}\text{\hspace{1em}(4.15)}$$
其中 $f\left(M\right)$ 是一个给定的已知函数，也就是边界条件。 $u\left(x,y\right)\in {\mathbb{Y}}_{1,2,1}$ 使泛函 $\left(4.14\right)$ 取得极小值的必要条件是：
$$F_u-\frac{\partial }{\partial x}{F}_{u_x}-\frac{\partial }{\partial y}{F}_{u_y}=0\text{\hspace{1em}(4.16)}$$

定理的理解与证明

令
$$\Phi \left(\alpha \right)={\iint }_{D}F\left(x,y,U,U_x+\alpha {\eta }_x,U_y+\alpha {\eta }_y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(4.17)}$$
有
$${\Phi }^{\prime }\left(0\right)={\iint }_D\left(\eta F_u+{\eta }_x{F}_{u_x}+{\eta }_y{F}_{u_y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(4.18)}$$
应用二维分部积分公式，即式 $\left(4.5\right)$ ，得
$$\begin{array}{rl}{\Phi }^{\prime }\left(0\right)& ={\iint }_D\left(\eta F_u+{\eta }_x{F}_{u_x}+{\eta }_y{F}_{u_y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_D\eta \left(F_u-\frac{\partial }{\partial x}{F}_{u_x}-\frac{\partial }{\partial y}{F}_{u_y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}\text{\hspace{1em}(4.19)}$$
结合必要条件 ${\Phi }^{\prime }\left(0\right)=0$ 和变分学基本引理 $\left(1.2\right)$ 的自然推广（推广十分容易，此处不证），自然得到
$$F_u-\frac{\partial }{\partial x}{F}_{u_x}-\frac{\partial }{\partial y}{F}_{u_y}=0\text{\hspace{1em}(4.20)}$$

4.3、多方程多变量高次的欧拉方程

经过前面的铺垫，这一推广是水到渠成的。但考虑到读者可能会跟不上节奏，所以还是一步一步来。

首先是单方程两变量两次的欧拉方程（ $\left(4.16\right)$ 的自然推广），证明只需考虑 $2$ 次二维分部积分即可——
$$F_u-\frac{\partial }{\partial x}{F}_{u_x}-\frac{\partial }{\partial y}{F}_{u_y}+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{F}_{u_{xx}}+\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}{F}_{u_{xy}}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}{F}_{u_{yy}}=0\text{\hspace{1em}(4.21)}$$
然后应用 $\left(4.13\right)$ ，并记求偏导算子 ${\mathrm{D}}_m=\frac{\partial }{\partial x_m}$ ，就能将 $\left(4.21\right)$ 推广到 $M$ 变量、 $N$ 次的形式了
$$\sum _{q_1+\cdots +q_m⩽N}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial F}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}u\right]}\right)\right\}=0\text{\hspace{1em}(4.22)}$$
与 $\left(3.8\right)$ 进行相同的操作，得到 $M$ 变量、 $N$ 次、 $P$ 方程的形式
$$\{\begin{array}{l}\sum _{q_1+\cdots +q_m⩽N}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial F}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}{u}_1\right]}\right)\right\}=0\\ ⋮\\ \sum _{q_1+\cdots +q_m⩽N}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial F}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}{u}_P\right]}\right)\right\}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(4.23)}$$
额，写成 $\sum$ 的形式看起来好像很反人类，不过像上面的公式一样，展开一下就会特别清晰了。反正实际上也用不到这么高维度的情形。主要是写成一个统一的形式后，可以加深理解。

5、变分

在微积分中，我们学了微分 $\mathrm{d}x$ ，知道导数是 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，并且自变量的微小增量 $\mathrm{d}x$ 会引起因变量的微小增量 $\mathrm{d}y$ 。微积分的函数微小增量是实数，泛函的微小增量是函数，我们能不能类似微分 $\mathrm{d}x$ 定义一个微小函数增量呢？

回忆我们在欧拉方程的求解方法：我们假设函数 $y\left(x\right)$ 有一个微小增量 $\alpha \cdot \eta \left(x\right)$ ，对 $\alpha$ 求导，最终令 $\alpha =0$ 。因此，我们记函数 $y\left(x\right)$ 的微小增量为变分 $y\left(x\right)-Y\left(x\right)=\delta y=\alpha \cdot \eta \left(x\right)$ ，其中 $\delta y$ 的含义类似于微分 $\mathrm{d}x$ 。我们将泛函写成参数 $\alpha$ 的形式
$$I\left[y\left(\cdot \right)\right]=\Phi \left(\alpha \right)={\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,Y+\alpha \eta ,Y^{\prime }+\alpha {\eta }^{\prime }\right)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(5.1)}$$
我们求解欧拉方程用了 ${\Phi }^{\prime }\left(0\right)$ ，所以我们把 $\alpha \cdot {\Phi }^{\prime }\left(0\right)$ 定义为 $I$ 的变分 $\delta I$ （与 $\delta y=\alpha \cdot \eta$ 对应）。

变分的运算法则类似于高数微分的运算法则，故此处不予赘述，只对这些定理的部分进行列举

• 若 $F\left(x,y,y^{\prime }\right)\Rightarrow \delta F=F\left(x,y+\alpha \eta ,y^{\prime }+\alpha {\eta }^{\prime }\right)-F\left(x,y,y^{\prime }\right)$ 则 $\delta F=\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime }$
• 若 $I\left[y\left(\cdot \right)\right]={\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,Y+\alpha \eta ,Y^{\prime }+\alpha {\eta }^{\prime }\right)\mathrm{d}x$ 则 $\delta I=\delta {\int }_{x_1}^{x_2}F\mathrm{d}x={\int }_{x_1}^{x_2}\delta F\mathrm{d}x$
• 若 $y=y\left(x\right)$ ，则 $\delta y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\delta x$
• 对于 $F_1,F_2$ ，有 $\delta \left(F_1+F_2\right)=\delta F_1+\delta F_2$ 和 $\delta \left(F_1{F}_2\right)=F_1\delta F_2+F_2\delta F_1$

同样的，我们可以证明一个重要的定理——

泛函 $I$ 取到极值的必要条件为 $\delta I=0$

因此，我们可以用变分的语言，将上述定理重新证明一遍，此处不予赘述。至于引入变分的好处是什么，请看下一章节——「参数形式欧拉方程」。

6、参数形式欧拉方程

在上面的讨论中，我们已经研究完了多元函数、多约束方程、高阶导数约束情形的欧拉方程。然而，很多时候我们会对方程进行参数换元。因此，接下来，我们将研究参数情形的欧拉方程。

6.1、一自变量两因变量参数形式欧拉方程

我们考虑 $y=y\left(x\right)$ 可以用参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x\left(t\right)\\ y=y\left(t\right)\end{array}$ 形式进行表达。此时原泛函 $I\left[y\left(\cdot \right)\right]={\int }_{x_1}^{x_2}F\left(x,y,y^{\prime }\right)\mathrm{d}x$ 转化为了 $J\left[x\left(\cdot \right),y\left(\cdot \right)\right]={\int }_{t_1}^{t_2}G\left(x,y,x^{\prime },y^{\prime }\right)\mathrm{d}t$

我们考虑变分 $\delta J$
$$\begin{array}{rl}\delta J& ={\int }_{t_1}^{t_2}\delta G\left(x,y,x^{\prime },y^{\prime }\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial G}{\partial x}\delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\delta y+\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}\delta x^{\prime }+\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime }\right]\mathrm{d}t\end{array}\text{\hspace{1em}(6.1)}$$
令 $\delta t=\alpha \cdot \eta$ ，此时 $\delta x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\delta t$ 、 $\delta y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\delta t$ ，结合分部积分公式 ${\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime }\mathrm{d}t=-{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}\delta y\mathrm{d}t$ ，有

结合 $\delta J=\alpha \cdot {\Phi }^{\prime }\left(0\right)$ ， $\Phi \left(\alpha \right)=J\left[x\left(\cdot \right),y\left(\cdot \right)\right]$ ，得
$$\begin{array}{rl}\delta J& ={\int }_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial G}{\partial x}\delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\delta y+\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}\delta x^{\prime }+\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime }\right]\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial G}{\partial x}\delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\delta y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}\delta x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}\delta y\right]\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right]\delta t\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}\right)+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial G}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}\right)\right]\delta t\mathrm{d}t\end{array}\text{\hspace{1em}(6.2)}$$
根据 $\delta t$ 的任意性，由变分学基本引理，我们得到了参数方程形式的欧拉方程
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}\right)+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial G}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}\right)=0\text{\hspace{1em}(6.3)}$$
或者记 $G_x=\frac{\partial G}{\partial x}$ 、 $G_{x^{\prime }}=\frac{\partial G}{\partial x^{\prime }}$ 、 $G_y=\frac{\partial G}{\partial y}$ 、 $G_{y^{\prime }}=\frac{\partial G}{\partial y^{\prime }}$ ，有
$$x^{\prime }\left(G_x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{x^{\prime }}\right)+y^{\prime }\left(G_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{y^{\prime }}\right)=0\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

6.2、多自变量多因变量参数形式欧拉方程

假设自变量为 $M$ 个，因变量有 $N$ 个，那么这代表着 $N$ 维空间中的 $M$ 维流形，其由 $m$ 个独立方程确定。我们考虑 $M=1,N=3$ 的情形，即为三维空间的参数曲线 $\{\begin{array}{l}x=x\left(t\right)\\ y=y\left(t\right)\\ z=z\left(t\right)\end{array}$ ，类似地推导可以得出

$$x^{\prime }\left(G_x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{x^{\prime }}\right)+y^{\prime }\left(G_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{y^{\prime }}\right)+z^{\prime }\left(G_z-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{z^{\prime }}\right)=0\text{\hspace{1em}(6.5)}$$
我们再考虑 $N$ 维空间中的 $M$ 维流形
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_1\left(t_1,\cdots ,t_M\right)\\ ⋮\\ x_N=x_N\left(t_1,\cdots ,t_M\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6)}$$
考虑最高为 $1$ 次的泛函
$$J\left[x_1,\cdots ,x_N\right]={\int }_{\Omega }G\left(x_1,\cdots x_N,\frac{\partial x_1}{\partial t_1},\cdots \frac{\partial x_1}{\partial t_M},\cdots ,\frac{\partial x_N}{\partial t_1},\cdots \frac{\partial x_N}{\partial t_M}\right)\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_M\text{\hspace{1em}(6.7)}$$
则它的变分 $\delta J$ 为（这里求和换来换去都快把我换晕了）
$$\begin{array}{rl}\delta J& ={\int }_{\Omega }\delta G\left(x_1,\cdots x_N,\frac{\partial x_1}{\partial t_1},\cdots \frac{\partial x_1}{\partial t_M},\cdots ,\frac{\partial x_N}{\partial t_1},\cdots \frac{\partial x_N}{\partial t_M}\right)\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_M\\ & ={\int }_{\Omega }\left[\sum _{n=1}^N\frac{\partial G}{\partial x_n}\delta x_n+\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^M\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\right)}\delta \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\right)\right]\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_M\\ & ={\int }_{\Omega }\left[\sum _{n=1}^N\frac{\partial G}{\partial x_n}\delta x_n-\sum _{n=1}^N\sum _{p=1}^M\frac{\partial }{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_p}\right)}\delta x_n\right]\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_M\\ & ={\int }_{\Omega }\left[\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^M\frac{\partial G}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\delta t_m-\sum _{n=1}^N\left(\sum _{m=1}^M\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\delta t_m\right)\left(\sum _{p=1}^M\frac{\partial }{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_p}\right)}\right)\right]\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_M\\ & ={\int }_{\Omega }\left[\sum _{m=1}^M\delta t_m\sum _{n=1}^N\frac{\partial G}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial t_m}-\sum _{m=1}^M\delta t_m\sum _{n=1}^N\left(\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\right)\left(\sum _{p=1}^M\frac{\partial }{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_p}\right)}\right)\right]\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_M\\ & ={\int }_{\Omega }\sum _{m=1}^M\delta t_m\left[\sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum _{p=1}^M\frac{\partial }{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_p}\right)}\right)\right]\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_M\end{array}\text{\hspace{1em}(6.8)}$$
根据 $\delta t_m$ 的任意性，由变分学基本引理，我们得到了自变量为 $M$ 个、因变量有 $N$ 个的参数方程形式的欧拉方程
$$\{\begin{array}{l}\sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_1}\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum _{p=1}^M\frac{\partial }{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_p}\right)}\right)=0\\ ⋮\\ \sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_M}\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum _{p=1}^M\frac{\partial }{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_p}\right)}\right)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(6.9)}$$
当然，这一公式也可以推广到高次，记求偏导算子 ${\mathrm{D}}_m=\frac{\partial }{\partial t_m}$ 并设最高次数为 $Q$ ，则有
$$\{\begin{array}{l}\sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_1}\left(\sum _{q_1+\cdots +q_m⩽Q}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial G}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}{x}_n\right]}\right)\right\}\right)=0\\ ⋮\\ \sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_M}\left(\sum _{q_1+\cdots +q_m⩽Q}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial G}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}{x}_n\right]}\right)\right\}\right)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(6.10)}$$
上述公式纯属我手推的，不知道对不对，如果要使用的话，建议读者手动验算一下再用。

7、总结

首先，我们引入了最简单的欧拉方程
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=0\text{\hspace{1em}(2.9)}$$
然后，我们将其推广到了 $n$ 次
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}=0\text{\hspace{1em}(2.18)}$$
也可以用求和的形式记录它
$$\sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k\left(\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(k\right)}}\right)=0\text{\hspace{1em}(2.14)}$$
然后我们考虑了涉及两个变元 $y_1\left(x\right)$ 和 $y_2\left(x\right)$ 情形，得到了
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial y_1}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_1^{{}^{\prime }}}=0\\ \frac{\partial F}{\partial y_2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_2^{{}^{\prime }}}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$
通过自然地推广，将其推广到 $M$ 个方程，每个方程 $N_m$ 次的情形，得到了
$$\{\begin{array}{l}\sum _{n=0}^{N_1}{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y_1^{\left(n\right)}}=0\\ \sum _{n=0}^{N_2}{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y_2^{\left(n\right)}}=0\\ ⋮\\ \sum _{n=0}^{N_M}{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y_M^{\left(n\right)}}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$
为了将欧拉方程推广到多变量的情形，我们通过广义斯托克斯公式推导了 $M$ 维的 $n$ 次分部积分公式。

我们假设 $\eta {|}_{\partial \Omega }$ 满足 $n-1$ 次边界条件，即 $\eta {|}_{\partial \Omega }=0,{\frac{\partial \eta }{\partial x}|}_{\partial \Omega }=0,\cdots ,,{\frac{{\partial }^{n-1}\eta }{\partial x^{n-1}}|}_{\partial \Omega }=0$ ，那么就可以得到 $M$ 维的 $n$ 次分部积分公式
$${\int }_{\Omega }\left(\frac{{\partial }^n\eta }{\partial {\left(x_m\right)}^n}\right)f\cdot \mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_M={\left(-1\right)}^n{\int }_{\Omega }\eta \left(\frac{{\partial }^{n}f}{\partial {\left(x_m\right)}^n}\right)\cdot \mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_M\text{\hspace{1em}(4.13)}$$

我们将其与一维的分部积分公式对比
$$\begin{array}{rl}& {\int }_L\frac{\mathrm{d}\left(\eta f\right)}{\mathrm{d}x}\cdot \mathrm{d}x=0\\ \Rightarrow & {\int }_L\frac{\partial \eta }{\partial x}\cdot f\cdot \mathrm{d}x=-{\int }_L\eta \frac{\partial f}{\partial x}\cdot \mathrm{d}x\\ \Rightarrow & {\int }_L\frac{{\partial }^n\eta }{\partial x^n}\cdot f\cdot \mathrm{d}x={\left(-1\right)}^n{\int }_L\eta \left(\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^n}\right)\cdot \mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(7.1)}$$
不难发现它们是一致的。于是，我们将欧拉方程推广到两变量函数、最高 $1$ 次导数的情形
$$F_u-\frac{\partial }{\partial x}{F}_{u_x}-\frac{\partial }{\partial y}{F}_{u_y}=0\text{\hspace{1em}(4.16)}$$
进而，我们推广到了两变量函数、最高 $2$ 次导数
$$F_u-\frac{\partial }{\partial x}{F}_{u_x}-\frac{\partial }{\partial y}{F}_{u_y}+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{F}_{u_{xx}}+\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}{F}_{u_{xy}}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}{F}_{u_{yy}}=0\text{\hspace{1em}(4.21)}$$
然后，我们记偏导算子 ${\mathrm{D}}_m=\frac{\partial }{\partial x_m}$ 作为求导算子 $\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 的推广。我们得到了 $M$ 变量 $N$ 次的欧拉方程
$$\sum _{q_1+\cdots +q_m⩽N}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial F}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}u\right]}\right)\right\}=0\text{\hspace{1em}(4.22)}$$
并且自然地将其推广为方程组 $u_1,u_2,\cdots u_P$ 的情形，我们得到了 $M$ 变量 $N$ 次 $P$ 方程的欧拉方程
$$\{\begin{array}{l}\sum _{q_1+\cdots +q_m⩽N}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial F}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}{u}_1\right]}\right)\right\}=0\\ ⋮\\ \sum _{q_1+\cdots +q_m⩽N}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial F}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}{u}_P\right]}\right)\right\}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(4.23)}$$
在引入参数方程之前，我们先引入了变分的概念。变分类似于微分，只是是对泛函的“微分”。通过泛函 $I$ 取到极值的必要条件为 $\delta I=0$ 这一好用的结论，以及变分与微分运算性质一致的特性，我们可以让证明过程变得更加简洁明了。

最终，我们通过变分证明了参数方程形式的欧拉方程。首先是 $1$ 自变量 $2$ 因变量的欧拉方程
$$x^{\prime }\left(G_x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{x^{\prime }}\right)+y^{\prime }\left(G_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{y^{\prime }}\right)=0\text{\hspace{1em}(6.4)}$$
然后是 $1$ 自变量 $3$ 因变量的欧拉方程
$$x^{\prime }\left(G_x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{x^{\prime }}\right)+y^{\prime }\left(G_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{y^{\prime }}\right)+z^{\prime }\left(G_z-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_{z^{\prime }}\right)=0\text{\hspace{1em}(6.5)}$$
再推广到自变量为 $M$ 个、因变量有 $N$ 个的最高 $1$ 次参数方程形式的欧拉方程
$$\{\begin{array}{l}\sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_1}\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum _{p=1}^M\frac{\partial }{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_p}\right)}\right)=0\\ ⋮\\ \sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_M}\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum _{p=1}^M\frac{\partial }{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left(\frac{\partial x_n}{\partial t_p}\right)}\right)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(6.9)}$$
当然，这一公式也可以推广到高次，记求偏导算子 ${\mathrm{D}}_m=\frac{\partial }{\partial t_m}$ 并设最高次数为 $Q$ ，则有
$$\{\begin{array}{l}\sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_1}\left(\sum _{q_1+\cdots +q_m⩽Q}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial G}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}{x}_n\right]}\right)\right\}\right)=0\\ ⋮\\ \sum _{n=1}^N\frac{\partial x_n}{\partial t_M}\left(\sum _{q_1+\cdots +q_m⩽Q}{\left(-1\right)}^{q_1+\cdots +q_m}\left\{\left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}\right]\left(\frac{\partial G}{\partial \left[{\left({\mathrm{D}}_1\right)}^{q_1}\cdots {\left({\mathrm{D}}_m\right)}^{q_m}{x}_n\right]}\right)\right\}\right)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(6.10)}$$
虽然形式越到后面越丑陋，但我们只需要考虑低维情形，然后通过类比的方法自然推广，即可得到这些看似复杂的表达式。

这些表达式看似复杂，但本质上其实很简单。本质上都是下面这一表达式的自然推广
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}=0\text{\hspace{1em}(2.18)}$$