能量原理与变分法笔记02:变分问题变分和微分运算能交换次序欧拉方程

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于 2022-07-20 18:30:00 发布

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分类专栏：力学+地球物理科学+化学文章标签：算法人工智能 java

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本文探讨了两点之间直线最短原理的数学证明，通过类比函数极值求解，展示了如何利用泰勒展开忽略高阶小量。文章深入解析了变分法与微分运算的交换性，并通过实例演示了一阶变分和欧拉方程的推导过程。重点介绍了利用分布积分法和反证法的思路。

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经典例子

证明两点之间直线最短

在这里插入图片描述

如何求解

类比求解一个函数的极值

在这里插入图片描述

用 $x^2$ 求解一下

在这里插入图片描述

$在泰勒展开的过程中忽略高阶小量$

在这里插入图片描述

性质：变分和微分运算能交换次序

对于一条曲线和其“扰动”，取一位置x,两曲线在其上的点分别为A,B,对位置x的扰动结果的点分别为C,D。
$C点坐标由A点计算而来\\ D点坐标可由B点或C点计算而来\\ 由D的恒等证明：变分和微分运算能交换次序$

在这里插入图片描述

继续之前一阶变分 $δV\delta V$ 赋值为0的计算

$利用了分布积分方法得到原函数和导函数的积分关系公式：$
在这里插入图片描述

欧拉方程(由 $δy的任意性\delta y的任意性$ +积分为0 =》积分内部需为0，即为欧拉方程)

第一个箭头右侧为反证法的思路

总结

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