能量原理与变分法笔记02:变分问题 变分和微分运算能交换次序 欧拉方程

经典例子

证明两点之间直线最短

如何求解

类比求解一个函数的极值

用$x^2$求解一下

$$在泰勒展开的过程中忽略高阶小量$$

性质：变分和微分运算能交换次序

        对于一条曲线和其“扰动”，取一位置x,两曲线在其上的点分别为A,B,对位置x的扰动结果的点分别为C,D。
$$\begin{gathered} C点坐标由A点计算而来 \\ D点坐标可由B点或C点计算而来 \\ 由D的恒等证明：变分和微分运算能交换次序 \end{gathered}$$

继续之前一阶变分$\delta V$赋值为0的计算

$利用了分布积分方法得到原函数和导函数的积分关系公式：$

欧拉方程(由$\delta y的任意性$+积分为0 =》积分内部需为0，即为欧拉方程)

• 第一个箭头右侧为反证法的思路
  

总结