泛函、变分与欧拉-拉格朗日方程

泛函、变分与欧拉-拉格朗日方程

1. 泛函

设$C$是一个由函数组成的集合，对于$C$中的任何一个元素$y(x)$，数集$B$中都有一个元素$F$与之对应，称F是$y(x)$的泛函（functional），记作$F=F[y(x)]$。
一般情况下，泛函式常用积分形式表示：
$$J[y(x)]={\int }_{x_0}^{x_1}F(x,y,y^{\prime })dx$$
式中，被积函数$F(x,y,y^{\prime })$称为核。

由此可见，泛函是从函数组成的一个向量空间到标量域的映射。

函数、泛函、算子概念区别

• 函数：从数域到数域的映射；
• 泛函：从向量空间到数域的映射；
• 算子：从向量空间到向量空间的映射。

2. 变分

对泛函求极值的问题称为变分问题。使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。

3. 欧拉-拉格朗日方程

对连续函数求极值，可以通过费马引理，即通过求函数导数为零点求解。类似的，变分法可以通过欧拉-拉格朗日方程求得。
$$F_y-\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}=0$$
欧拉-拉格朗日方程的意义在于如果泛函取得极值，该公式都成立。

4. 两点之间直线最短的证明

如上图所示，设$A、B$两点之间的连接曲线为$y=y(x)$，其曲线 长度为$S$，那么有：
$$\begin{array}{rl}dS& =\sqrt{1+(\frac{dy}{dx}{)}^2}dx\\ S& ={\int }_{x_0}^{x_1}(1+\sqrt{1+(\frac{dy}{dx}{)}^2})dx\\ 令y^{\prime }& =\frac{dy}{dx}\\ S& ={\int }_{x_0}^{x_1}(1+\sqrt{1+y^{\prime 2}})dx\end{array}$$
要求两点之间最短路径，即$S$最小，那么就是一个变分问题了。
且其核为：
$$F=1+\sqrt{1+y^{\prime 2}}$$

由欧拉-拉格朗日方程可得：
$$\begin{array}{rl}\because & F_y=0\\ \therefore & \frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}=0\\ F_{y^{\prime }}& =\frac{1}{2}(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}(2y^{\prime })\\ & =y^{\prime }(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}\\ \frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}& =y^{\prime \prime }(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}+y^{\prime }(-\frac{1}{2})(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{3}{2}}(2y^{\prime })y{}^{\prime \prime }\\ & =y{}^{\prime \prime }(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{3}{2}}=0\\ y{}^{\prime \prime }& =0\\ y^{\prime }& =C\\ y& =C_{1}x+C_2\end{array}$$
即曲线$S$为直线。借助两点坐标，$C_1,C_2$也可求了。

参考资料

知乎：变分法理解1——泛函简介