「笔记」欧拉函数的积性证明及线性筛

欧拉函数的积性证明

欧拉函数即\(\varphi\)函数

以下两段是从大佬那里淘来的证明

同样的，\(t\perp nm\Leftrightarrow t\perp n,t\perp m\Leftrightarrow(t\bmod n)\perp n,(t\bmod m)\perp m\)，所以每个 \([1, nm]\)之间的与\(nm\)互质的数\(t\)都可以对应到一个\([1,n]\)的与\(n\)互质的数 \(t\bmod n\)和一个\([1,m]\)的与\(m\)互质的数\(t\bmod m\)。

并且根据中国剩余定理，这种对应是一一对应的(即已知 \(a\perp n, b\perp m\)后可以唯一确定一个\([1,nm]\)之间的\(t\)使得\(t\bmod n=a, t\bmod m=b\)，且\(t\perp nm\))。因此 \(\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)\) 。

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然而我看不懂……还是从定义上来证明吧！

假设有两个互质的正整数\(n,m\)，则

\[\varphi(n)=n\prod(1-\frac{1}{p_i}) \]

\[\varphi(m)=m\prod(1-\frac{1}{p_{i'}}) \]

\[\varphi(n)\varphi(m)=n\prod(1-\frac1{p_i})m\prod(1-\frac1{p_{i'}})=nm\prod(1-\frac1{p_i})\prod(1-\frac1{p_{i'}}) \]

因为\(n,m\)互质，所以\(p_i\)和\(p_{i'}\)各各都不相同，且都是\(nm\)的质因子

因此就可以推出\(\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)\)

至此，积性函数的性质得证。但是由上面的证明可知，\(n,m\)必须要互质才可以满足欧拉函数是积性函数，由此可见欧拉函数不是完全积性函数

线性筛欧拉函数

友情提示：建议先学习线性筛素数再来学习，在此不会讲线性筛的基本操作

线性筛欧拉函数可以分为三种情况：

1. \(i\)是质数时，\(\varphi(i)=n-1\)，根据质数的性质，在\(1\sim i\)中，有\(i-1\)个与\(i\)互质的数，所以质数\(i\)的欧拉函数就是\(i-1\)
2. \(i\bmod p[j]\neq 0\)时，说明\(i\)和\(p[j]\)互质，\(\varphi(i\times p[j])=\varphi(i)\varphi(p[j])\)(因为\(p[j]\)是质数，所以\(\varphi(p[j])\)也可以写成\(p[j]-1\)，代码里写的是\(\varphi(p[j])\))
3. \(i\bmod p[j]=0\)时，\(\varphi(i*p[j])=\varphi(i)*p[j]\)(从欧拉函数定义来证明，表示我也不会)

代码如下：

int phi[A], p[A], cnt;
//phi欧拉函数，p质数数组，cnt记录质数个数 
bool vis[A];//为1即为合数，为0则为质数 

void getphi() {
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!vis[i]) p[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
		for (int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= n; j++) {
			vis[i * p[j]] = 1;
			if (i % p[j] == 0) { phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j]; break; }
			else phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];//互质，利用欧拉函数的积性 
		}
	}
}