欧拉函数性质、证明及求法

最新推荐文章于 2025-01-19 23:33:35 发布

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定义

欧拉函数φ(n)表示1~n中与n互质的数的个数
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)......;其中p1、p2、p3…为n的质因数，n为正整数 ;
比如x=12，其质因数为2,3。在1到12中，有1/2 的数是2的倍数，那么就有(1-1/2)的数不是2的倍数，
及1,3,5,7,9,11；在这些数中，有1/2的数是3的倍数，那么就有(1-1/3)的数不是3的倍数，及1,5,7,11；
这四个数即不是2的倍数，也不是3的倍数，故φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4

积性函数

若当m与n互质时f(mn)=f(m)f(n),那么f是积性函数。若对任意正整数，都有f(nm)=f(n)f(m)成立，则f是完全积性函数。

欧拉函数的重要性质

对于质数p，φ(p)=p−1;
若p为质数，n=p^k，则φ(n)=p^k-p^(k-1);
欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。若m,n互质，则φ(m*n)=φ(m)*φ(n)特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2n)=φ(n);
当n>2时，φ(n)是偶数;
小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n)*n / 2 (n>1);
n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n

性质证明

求法

直接使用公式求一个数n的欧拉函数值
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LL phi(LL n){//欧拉函数 
     LL i,rea=n;
     for(i=2;i*i<=n;i++){
         if(n%i==0){
             rea=rea-rea/i;          //res=res*(1-(1/i))
             while(n%i==0) n/=i;
          }
     }
     if(n>1) rea=rea-rea/n;          //res=res*(1-(1/n)) 最后一个质因数
     return rea;
}
使用埃拉托斯特尼筛法
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
比如：φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4。
利用这个就比较好求了，可以用类似求素数的筛法。
先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求10以内所有数的φ值：
设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2…phi[10]=10；
然后从2开始循环，把2的倍数的φ值 *(1-1/2)，则phi[2]=2*(1/2)=1,phi[4]=4*(1/2)=2,phi[6]=6*(1/2)=3....；
再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*(2/3)=2,phi[6]=3*(2/3)=2，phi[9]=.....；
再5，再7…因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
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void Init(int Max){   
     phi[1]=1;  
     for(int i=2;i<Max;i++)  
       phi[i]=i;  
     for(int i=2;i<Max;i++)  
        if(phi[i]==i)  
           for(int j=i;j<Max;j+=i)  
              phi[j]=phi[j]/i*(i-1);    //先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
}