【强基】欧拉函数与积性函数

Part 1：前置知识

线性筛

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100001;

int n,v[N],prime[N],tot;

void primes(int n)
{
   
	for(int i=2; i<=n; i++)
	{
   
		if(!v[i])
		{
   
			v[i]=i;
			prime[++tot]=i;
		}
		
		for(int j=1; j<=tot; j++)
		{
   
			if(prime[j]>v[i] || prime[j]>n/i)
				break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
}

int main()
{
   
	cin>>n;
	
	primes(n);
	
	for(int i=1; i<=tot; i++)
		cout<<prime[i]<<" ";
		
	return 0;
}

Part 2：欧拉函数

• 定义：欧拉函数 $\phi (n)$ 表示小于等于 $n$，且与 $n$ 互质的正整数的个数。
• 公式：
  若在算数基本定理中，$n=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_m^{c_m}$（$p$ 为质数），则由容斥原理：$$\phi (n)=n\ast \frac{p_1-1}{p_1}\ast \frac{p_2-2}{p_2}\ast ...\ast \frac{p_m-m}{p_m}=n\ast \prod _{p\mid n}(1-\frac{1}{p})$$
  关于此公式的证明，读者可自行推导

Part 3：积性函数

• 定义：若一个定义在正整数域上的函数 $f$，当 $x,y$ 互质时，有 $f(xy)=f(x)\ast f(y)$，则称函数 $f$ 是积性函数
• 欧拉函数是积性函数，即：若 $a,b$ 互质，则 $\phi (ab)=\phi (a)\ast \phi (b)$

  证明：由欧拉函数计算公式可得

• 若 $d(n)$ 表示 $n$ 的约数个数，则 $d(n)$ 是积性函数
• 若 $s(n)$ 表示 $n$ 所有约数的和，则 $s(n)$ 是积性函数
• 所有的积性函数都可以用线性筛求解！！！

Part 4：欧拉函数常见的性质

1. 若 $n$ 是质数，则 $\phi (n)=n-1$
2. 若 $n=p^k$，且 $p$ 为质数，则 $\phi (n)=(p-1)\ast p^{k-1}$
3. 若 $p$ 是质数，且 $\{\begin{array}{ll}p\mid n& \Rightarrow \phi (nq)=\phi (n)\ast q\\ p\nmid n& \Rightarrow \phi (nq)=\phi (n)\ast (q-1)\end{array}$
4. $n=\sum _{d\mid n}\phi (d)$
5. $\phi (ab)=\phi (a)\ast \phi (b)\ast \frac{d}{\phi (d)}$，其中 $d=\gcd (a,b)$

Part 5：例题

【模板题】求 φ(n)

解题思路

• 我们已知 $\phi (n)$ 的计算公式，所以只需对 $n$ 进行质因数分解即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100001;

int n;

int GetPhi(int n)
{
   
	int ans=n;
	for(int i=2; i*i<=n; i++) //分解质因数
	{
   
		if(n%i==0)
		{
   
			ans=ans*(i-1)/i; //计算公式
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
	} 
	
	if(n>1) //还剩下一个较大的质数
		ans=ans*(n-1)/n;
	
	return ans;	
}

int main()
{
   
	cin>>n;
	cout<<GetPhi(n);
		
	return 0;
}

【模板题】求 φ(1) ~ φ(n)

解题思路

• 由于欧拉函数是积性函数，所以我们考虑用线性筛求解
• 从欧拉函数性质 $3$ 出发，在线性筛中，每个合数 $x$ 都会被它最小的质因子 $p$ 筛去，此时我们就可以用 $p$ $($或 $p-1)$ 和 $\phi (x/p)$ 来推出 $\phi (x)$ ，具体是 $p$ 还是 $p-1$，要看 $x/p$，即我们外层循环的 $i$ 是否是 $q$ 的倍数；而对于每个质数 $y$，由性质 $1<$