欧拉 phi 函数的积性证明

本文通过构造矩阵的方法证明了当两个正整数m和n互质时,欧拉函数φ(mn)等于φ(m)φ(n)。证明过程利用了行列式的特性以及最大公约数的概念。

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在数论,对正整数n,欧拉函数是小于或等于 n 的数中与 n 互素的数的数目。

若 m,n互素,那么

 

 

证明:

构造如图所示的矩阵,恰好包含 mn 个数。



则 phi(mn)是上述数字矩阵中与 mn 互素的数的个数,也就是与 m、n 同时互素的数的个数(由于m与n互素)。

由于 GCD(km+r,m)=GCD(r, m),所以每一列的 n 个元素同时与 m 互素当且仅当 GCD(r,m)=1,因此与 m互素的列共有phi(m)列

 

假定第 r 列元素满足GCD(r,m)=1. 则该列的所有元素为

 

而这些元素恰好构成模 n完全剩余系,所以其中恰有 phi(n)  个与 n 互素的数

 

综上:上述数字矩阵中与 m 互素的列共有 phi(m) 列,每个这样的列当中恰有 phi(n)  个与 n互素的数,所以总共与 mn 互素的数的个数为 phi(m) phi(n)

### 欧拉函数的定义 欧拉函数 \( \phi(n) \) 定义为小于等于正整数 \( n \) 的所有与 \( n \) 互质的正整数的数量。形式化表示如下: \[ \phi(n) = |\{k : 1 \leq k \leq n, \gcd(k, n) = 1\}| \] 其中,\( \gcd(a, b) \) 表示两个整数 \( a \) 和 \( b \) 的最大公约数。 --- ### 欧拉函数的计算公式及其证明 #### 计算公式 对于任意正整数 \( n \),其素因数分解可以写成 \( n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \),则欧拉函数可以通过以下公式计算: \[ \phi(n) = n \prod_{i=1}^k \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) \tag{1} \] #### 公式推导 为了理解上述公式的由来,可以从集合的角度分析。假设我们有一个大小为 \( n \) 的集合 \( S = \{1, 2, \dots, n\} \),我们需要从中筛选出那些与 \( n \) 不互质的元素并排除掉。 1. **第一步:考虑单个素因子的影响** 假设 \( n \) 被某个素数 \( p \) 整除,则所有形如 \( kp \) (即 \( k \in \{1, 2, \dots, \lfloor n/p \rfloor\} \))的数都与 \( n \) 不互质。因此,在集合 \( S \) 中不与 \( n \) 互质的数的比例为 \( 1/p \)[^3]。 2. **第二步:多个素因子的情况** 如果 \( n \) 同时被多个不同的素数 \( p_1, p_2, \dots, p_k \) 整除,则需要利用容斥原理来精确计数哪些数与 \( n \) 不互质。最终得到的结果正是公式 (1) 所描述的形式[^4]。 通过以上两步推理可得欧拉函数的具体表达式。 --- ### 特殊情况下的简化公式 - 当 \( n = p \) 是一个质数时, \[ \phi(p) = p - 1 \] 这是因为除了 \( p \) 自身外的所有较小自然数均与其互质[^1]。 - 若 \( n = p^k \)(这里 \( p \) 仍是一个质数),那么 \[ \phi(p^k) = p^k - p^{k-1} \] 即从总数 \( p^k \) 减去能被 \( p \) 整除的部分数量 \( p^{k-1} \)。 --- ### 总结代码实现 以下是基于上述理论的一个 Python 实现例子用于求解给定数值对应的欧拉函数值: ```python def euler_phi(n): result = n p = 2 while p * p <= n: if n % p == 0: while n % p == 0: n //= p result -= result // p p += 1 if n > 1: result -= result // n return result print(euler_phi(10)) # 输出应为4 ```
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