欧拉函数的积性证明

最新推荐文章于 2025-05-24 19:05:45 发布

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#欧拉函数 #ACM

本文详细证明了欧拉函数是积性函数，通过构造等式 xin+yjm 和 mn 的简化剩余系之间的双射关系，展示了 ϕ(m)ϕ(n)=ϕ(mn) 的正确性，并使用反证法证明了不同有序二元组对应的 xin+yjm 不在同一剩余类中。

欧拉函数的积性证明

文章目录

欧拉函数的积性证明

积性函数

积性函数 是指对于函数 $f$ ，当 $g c d (m, n) = 1$ 时， $f (m) f (n) = f (m n)$ 。

完全积性函数 是指对于函数 $f$ ， $f (m) (n) = f (m n)$ 。

下面我们将证明欧拉函数是积性函数。

证明

目标等式： $\phi(m)\phi(n) = \phi(mn)$

符号约定

$\phi(n)$ ：欧拉函数

$X$ ： $m$ 的简化剩余系

$Y$ ： $n$ 的简化剩余系

$Z$ ： $m n$ 的简化剩余系

$x_i$ ： $X$ 的代表元素

$y_i$ ： $Y$ 的代表元素

$z$ ： $Z$ 的代表元素

$(x, y)$ ： $x ， y$ 的最大公约数

证明思路

我们构造等式 $x_in+y_jm$ ，我们想要证明 ${x_in+y_jm\}$ 和 $m n$ 的简化剩余系 $Z$ 之间存在一个双射关系，也就是说 $x_in+y_jm$

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