洛谷 1196 题解

题意简述

有$30000$个队列，初始每个队列里有元素$1,2,3\cdots 30000$。两种指令：
1.$M$ $i$ $j$ 编号为$i$的队列整个接到$j$上
2.$C$ $i$ $j$ 问编号为$i$,$j$的两个点之间（不包含$i$,$j$）有多少点。（如果不在一个队列里输出$-1$）

数据

输入
4
M 2 3
C 1 2
M 2 4
C 4 2
输出
-1
1

思路

这个题目是我在体育课上完成的思路，回来写的代码。。。
趁着刚做完，讲讲我思考的过程。
刚看到这个题的时候，第一个想到的肯定是并查集。但是突然注意到询问是要求中间有多少点，一脸懵逼：这怎么维护？难道是上Splay？？（珂是Splay我不会啊。。。）

慢慢分析这个题，我们肯定不能暴力维护点的位置。想想那些区间求和的问题，都怎么做的：没错，$前缀和$！我们用$Sum[i]$表示$i$这个点在$i$的队列中前面（不包括$i$）有多少点。在询问的时候，只要将两个$Sum$值取绝对值相减，然后$\pm 1$或者不变就珂以得到了。究竟是哪个呢？经过对样例的模拟，我们会发现此时应该是$-1$才是正确的。

上面这个看起来很好理解。那么如果我们要合并两个队列的时候，比方说是$x$队列和$y$队列，那么$x$队列的每个元素的$sum$都因为接在了$y$队列的后面，所以每个都要$+=Cnt[y]$，其中$Cnt[y]$表示$y$队列的元素个数。由于我们需要修改所有$x$队列中的元素，遍历就不珂避免了，一次合并操作就要$O(n)$了。怎么优化这个呢？

我们想想我们在搞并查集问题的时候都是怎么搞的：一个祖先一一对应一个集合。一个集合中所有的记录工作都$交给祖先来完成$。所以我们考虑这样做：只对祖先的$Sum$加值，在查找点$i$的时候逐个加上父亲（不包括祖先）的$Sum$值，就是点$i$实际的$Sum$值。然后发现查找就$O(n)$了，因为我们如果进行路径压缩，信息就丢失了。而实际上，我们珂以在$路径压缩的时候就更新i点的Sum$值，然后让$i$就算直接接到祖先上，也不会丢失数据，就保证了信息的正确性。这很好办，只要在路径压缩回溯的路上顺便加上这个值即可。

这样一次操作就$O(1)$了！！！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1001000
using namespace std;
class DSU
{
    private:
        int Father[N];
    public:
        int Cnt[N],Sum[N];
        //和上面说的一样.Cnt记录集合大小，Sum记录前面多少点
        //注意这个"前面"是不包括i本身的
        void Init()
        {
            for(int i=1;i<N;i++)
            {
                Father[i]=i;
                Cnt[i]=1;
                Sum[i]=0;//所以这边是0
            }
        }
        int Find(int x)
        //找到x的祖先，并将x的Sum值设置成所有父亲（当然，不包括祖先）
        {
            if (Father[x]==x) return x;//不包括祖先，所以此时直接返回x

            int ax=Find(Father[x]);
            Sum[x]+=Sum[Father[x]];//Father[x]在经过一轮Find后，Sum[Father[x]]已经设置成了Father[x]所有父亲（不包括祖先）的Sum和。然后只要用这一行代码，就珂以将Sum[x]的值设置成x所有父亲（不包括祖先）的Sum和了。

            return Father[x]=ax;//此时已经记录好了，珂以路径压缩了（准确来讲，此时如果不路径压缩会得到错误答案。仔细想想）
        }
        void Merge(int x,int y)//队列x接到队列y
        {
            int ax=Find(x),ay=Find(y);

            Sum[ax]+=Cnt[ay];//记录好Sum（只给祖先加上）
            Cnt[ay]+=Cnt[ax];//Cnt也要记录好
            Father[ax]=ay;//祖先接过去
        }
}D;

void Query()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        char o[3];int x,y;
        scanf("%s%d%d",o,&x,&y);
        if (o[0]=='M')
        {
            D.Merge(x,y);
        }
        else
        {
            int ax=D.Find(x),ay=D.Find(y);
            if (ax!=ay)
            //不在一个队列里
            {
                printf("-1\n");
            }
            else
            //在一个队列里
            {
                printf("%d\n",abs(D.Sum[x]-D.Sum[y])-1);
            }
        }
    }
}

main()
{
    D.Init();
    Query();
    return 0;
}