洛谷 P3800 Power收集

最新推荐文章于 2024-07-26 21:16:36 发布

LightningUZ

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分类专栏：洛谷文章标签：题解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LightningUZ/article/details/89075393

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博客介绍了洛谷P3800题目的解题思路，这是一个关于矩阵权值最大和的问题。博主首先提出了暴力解决方法，即使用动态规划dp[i][j]表示到达i,j的最大权值和，但这种方法会导致TLE。接着，博主通过类比滑动窗口优化，提出利用优先队列在O(nm)时间内优化解决方案，从而避免了与时间限制相关的错误。" 124069719,13385908,Mac与Win10共享文件夹：Parallels Desktop设置指南,"['macos', 'windows', '虚拟机', '文件共享', 'Parallels Tools']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意简述

首先这是个东方题。。。
灵梦在一个矩阵上，每次珂以往下走一格（竖向），并且珂以横向瞬移（不需要时间,只能一次，也不会途径任何点，直接到终点）<=T步，求走到最后一行路径上的点权值和最大。
（给定矩阵的方式类似稀疏矩阵，k行，每行3个数x,y,z表示在点(x,y)上权值为z。其余权值为0.矩阵大小：两条边长均<=4000）

数据

输入
3 3 4 1
1 1 3
1 2 1
2 2 3
3 3 3
输出
9
⑨//这个是我为了娱乐而写的，不是实际输出

解释

（我自己画的，好心吧。。。）

思路

一个暴力的思路： $d p [i] [j]$ 表示走到 $i, j$ 的最大权值和，则 $d p [i] [j] = m a x$ { $d p [i - 1] [k] (- t < = k < = t)$ } $+ m p [i] [j]$ ，其中 $m p [i] [j]$ 是记录矩阵的（Q:为什么不用 $m a p$ ?A：会重名， $m a p$ 是一种开挂的类型，前面见过）。
珂是这样是 $O (n m t)$ 的，直接就过 TLE了好么。。。
有一个题目叫滑动窗口，就是一个定长度的窗口从左到右滑，每次求最大值。
仔细观察一下我们的 $d p$ 数组，会发现和那个题目有点像。
不像？举个栗子：

假如每行有 $10$ 个数, $t = 1$ ，现在 $D P$ 到了第 $i$ 行。设 $M (l, r)$ 为 $d p [i - 1] [l]$ 到 $d p [i - 1] [r]$ 中的最大值。
那么， $d p [i]$ 应该从 $1$ 到 $10$ 依次是：
$S (1, 2), S (1, 3), S (2, 4), S (3, 5), S (4, 6), S (5, 7), S (6, 8), S (7, 9), S (8, 10), S (9, 10)$ 。
诶？这个除了两边边界不太一样，别的真的都好像哦！
更准确的说，这应该跟接近于洛谷P1440，与滑动窗口不同的是，这个题目如果长度不足就全部考虑，就和我们的转移方程是一样的了。

那么现在我们就珂以维护一个优先队列， $O (m)$ 转移出第 $i$ 行所有的 $d p$ 值。那这样我们的总时间复杂度就是 $O (n m)$ 的了，把 $t$ 整个去掉了，准确来讲是优化掉了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 4010
using namespace std;

int mp[N][N];
int n,m,k,t;
void Input()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&t);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int x,y,w;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        mp[x][y]=w;//暴力存
    }
}

int dp[N][N];
int Q[N][2];//单调队列
void Solve()
{

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int head=1,tail=0;
        //这里如果习惯不一样，千万不要乱抄。如果要抄，那么一定要注意head和tail的边界问题！！！
        //!!!
        //!!!
        for(int j=1;j<=min(m,t);j++)//把长度为t的先弄好（min(m,t)是防爆用的）
        {
            while(Q[tail][0]<=dp[i-1][j] and head<=tail)//不断去掉队尾小的
            {
                tail--;
            }
            ++tail;
            Q[tail][0]=dp[i-1][j];
            Q[tail][1]=j;//然后加入队列
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if (j+t<=m)//开始滑动！
            {
                while(Q[tail][0]<=dp[i-1][j+t] and head<=tail)
                {
                    tail--;
                }
                ++tail;
                Q[tail][0]=dp[i-1][j+t];
                Q[tail][1]=j+t;
                //加入队列
            }
            if (Q[head][1]<j-t)//及时踢出队列
            {
                ++head;
            }
            dp[i][j]=Q[head][0]+mp[i][j];//设置答案
        }
    }

    int ans=-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ans=max(ans,dp[n][i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    //然后这样就是O(nm)了。。。
}
main()
{
    Input();
    Solve();
    return 0;
}