洛谷 P1169 题解

题意简述

请你在一个黑白矩阵中选出一个长方形（含正方形）和正方形的子矩阵，使得所有相邻的点颜色不一样。
矩阵大小：两条边都$<=2000$

数据

输入
3 3
1 0 1
0 1 0
1 0 0
输出
4
6

解释

给定矩阵：

正方形:

长方形：

我的控制台是萌萌哒#ffc0cb粉色
一个小技巧：如果您的控制台是像我的这样能选择的，那么只要按着ALT就可以只选出矩形部分了。
效果图：

思路

悬线DP。我们用$L[i][j],R[i][j]$分别表示向左，右最远珂以延伸（延伸的条件就是黑白相间）到同一行第几个点。$U[i][j]$表示向上延伸（延伸条件同上）的最大长度。（这是悬线DP的套路）
然后转移方程很好写。用$mp$记录矩阵，枚举$i,j$，$L,R$的初始值是$j$，$U$的初始值是1.若$mp[i][j-1]!=mp[i][j]$，则$L[i][j]=L[i][j-1]$，$R$的转移类似。$U$到后面一边$DP$一边转移。

那现在就开始$DP$了。枚举$i,j$，表示我们现在选的子矩形的左下角。如果$mp[i][j]!=mp[i-1][j]$，说明我们现在枚举的左下角珂以继承上面的结果。显然要先更新$U$，那我们怎么继承其他的部分呢？

绿色表示当前枚举到的点，红色表示珂以延伸的点。
显然，我们现在这一行珂以左到$2$，右到$4$，但是上一行到不了这么远。
所以我们得到，在往下继承的时候，左取$min$，右取$max$。
然后你会发现，这样考虑每个子矩形的左下角，所有都会被考虑到。正确性。。。感性证明一下，理性证明我也不会证。

代码：
(以下代码中的$left$就是$L$，$right$就是$R$，$up$就是$U$)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 2010
using namespace std;
int mp[N][N];
int left[N][N],right[N][N],up[N][N];
int n,m;

void Input()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&mp[i][j]);
            left[i][j]=right[i][j]=j;
            up[i][j]=1;//初始化
        }
    }
}

void Build()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=2;j<=m;j++)
        {
            if (mp[i][j-1]!=mp[i][j])
            {
                left[i][j]=left[i][j-1];
            }
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m-1;j>=1;j--)
        {
            if (mp[i][j+1]!=mp[i][j])
            {
                right[i][j]=right[i][j+1];
            }
        }
    }
    //预处理left和right
}
void Solve()
{
    Build();//也珂以写在main里面，这个代码是一个星期前写的，由于心情的问题，会有一点点风格的影响
    //写代码也要体现自己的情感，就像写诗一样。做到"诗如代码，代码如诗"
    int ans1=0,ans2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if (i>1 and mp[i][j]!=mp[i-1][j])//继承
            {
                left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]);
                right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]);
                up[i][j]=up[i-1][j]+1;//更新U
            }
            int a=right[i][j]-left[i][j]+1;
            int b=min(a,up[i][j]);
            ans1=max(ans1,b*b);
            ans2=max(ans2,a*up[i][j]);//更新答案
            //注意正方形和长方形的区别
        }
    }
    printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);
}

main()
{
    Input();
    Solve();
    return 0;
}