24、双顶点 - 边支配的算法复杂度研究

双顶点 - 边支配的算法复杂度研究

1. 双顶点 - 边支配的基础理论

在图论中，双顶点 - 边支配是一个重要的概念。假设有集合 (R) 和 (Y)，对于 (Y) 中的每个顶点 (y)，从集合 (D’) 中移除 (y) 并将其相邻顶点 (x) 添加到 (D’)。不妨设 (D’) 包含集合 (R) 和 (X) 中的元素。设 (D’) 包含集合 (X) 中的 (a_1) 个顶点，集合 (R) 中的 (a_2) 个顶点，则 (a_1 + a_2 \leq q)。集合 (R) 中的顶点需要支配 (3q - a_1) 条边 (y_ix_i)，由于 (R) 中的顶点最多与集合 (X) 中的三个顶点相邻，所以 (a_2 \geq \frac{q - a_1}{3})。由此可得 (q \geq a_1 + a_2 \geq a_1 + \frac{q + a_1}{3} = \frac{q + 2a_1}{3})，仅当 (a_1 = 0) 时该不等式成立。这意味着 (C’ = {C_j : c_j \in D’}) 是一个精确覆盖，当且仅当图 (G) 有一个基数至多为 (7q) 的双顶点 - 边支配集。

2. 适用于恰当区间图的线性时间算法

对于弦图的一个子类——恰当区间图，我们可以使用线性时间算法来解决双顶点 - 边支配问题。设 (G) 是一个具有完美消除序列 (\sigma = (v_1, v_2, \ldots, v_n)) 的连通恰当区间图。算法 DVED - PROPER INTERVAL GRAPHS 以 (G) 为输入，返回 (G) 的最小双顶点 - 边支配集。该算法维护两个数组 (D) 和 (S) 来选择顶点加入集合 (DV E)，其具体含义如下