51、三度图中的边支配集问题算法解析-优快云博客

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三度图中的边支配集问题算法解析

1. 算法基础概念

在处理图相关问题时，为了方便操作和分析，我们引入了一些规则和概念。规则 3 不能用于缩减所有长度为 4 的内部路径，因为四种情况并未涵盖所有情形，但可用于缩减所有长度≥6 的内部路径。若图无法应用规则 1、规则 2 和规则 3 进行缩减，我们称其为缩减图。

2. 精确算法步骤

精确算法的主要步骤如下：
1. 若图不是缩减图，应用缩减规则 1 - 3 对图进行缩减。
2. 若存在顶点数少于 20 的组件，直接找出该组件的最优解。
3. 若图是 3 - 正则图，对其进行分支操作。
4. 若存在长度为 2 的纯路径 abc 且 b 被标注，对其进行分支操作。
5. 若存在长度为 3 的纯路径，对其进行分支操作。
6. 若存在长度为 4 的纯路径 abcde 且 b 和 c 被标注，对其进行分支操作。
7. 否则，选取一个与至少一个 2 度顶点相邻的 3 度顶点并进行分支操作。
8. 返回一个解。

下面是该算法的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B{是否为缩减图};
    B -- 否 --> C[应用规则 1 - 3 缩减图];
    B -- 是 --> D{是否有 <20 顶点组件};
    C --> D;
    D -- 是 --> E[找组件最优解];
    D -- 否 --> F{是否为 3 - 正则图};
    E --> F;
    F -- 是 --> G[对 3 - 正则图分支];
    F -- 否 --> H{是否有纯 2 - 路径 abc 且 b 标注};
    G --> I;
    H -- 是 --> I[对纯 2 - 路径分支];
    H -- 否 --> J{是否有纯 3 - 路径};
    I --> K;
    J -- 是 --> K[对纯 3 - 路径分支];
    J -- 否 --> L{是否有纯 4 - 路径 abcde 且 b 和 c 标注};
    K --> M;
    L -- 是 --> M[对纯 4 - 路径分支];
    L -- 否 --> N[选 3 度顶点分支];
    M --> O;
    N --> O[返回解];

3. 算法分析相关引理

为了分析算法的运行时间，我们使用图中 3 度顶点的数量 p 作为衡量标准，并给出以下两个引理：
- 引理 1 ：设 G 是最大度为 3 的连通图。若 G 有 x 个 1 度顶点且至少有 x 个 3 度顶点，那么在迭代应用缩减规则 1 直到图中没有 1 度顶点后，我们可以从图中至少缩减 x 个 3 度顶点。
- 引理 2 ：应用规则 2 - 3 后，图中 3 度顶点的数量不会增加。

4. 分支操作分析

4.1 3 - 正则图的分支操作（步骤 3）

当图是 3 - 正则图时，分两种情况讨论：
- 若图中所有顶点都未被标注，任意选择一个顶点 a（设其三个邻接点为 b、c、d），通过将 ab、ac 或 ad 包含到边支配集，或者将这三条边从图中排除，将问题分支为四个分支。包含边时，删除该边并应用规则 1 缩减 1 度顶点，此分支至少缩减 6 个 3 度顶点；排除三条边时，删除顶点 a 并标注 b、c、d，缩减 4 个 3 度顶点。得到递推式：
[C(p) \leq 3C(p - 6) + C(p - 4)]
解得 (C(p) = O(1.2930p))。
- 若图中有一个被标注的顶点 a（其三个邻接点为 b、c、d），只需将 ab、ac 或 ad 包含到边支配集进行三个分支，得到递推式：
[C(p) \leq 3C(p - 6)]
此递推式包含在上述递推式中。

4.2 步骤 4 的分支操作

若图中有纯 2 - 路径 abc 且 b 是被标注的顶点，通过将 ab 或 bc 包含到边支配集进行分支。删除边并应用规则 1 后，每个分支至少缩减 4 个 3 度顶点，得到递推式：
[C(p) \leq 2C(p - 4)]
解得 (C(p) = O(1.1893p))。

4.3 步骤 5 的分支操作

若图中有长度为 3 的纯路径 abcd，根据 b 和 c 是否被标注分情况讨论：
|情况|分支方式|递推式|结果|
|----|----|----|----|
|b 和 c 都未被标注|将 ab、bc 或 cd 包含到边支配集进行三个分支|(C(p) \leq C(p - 6) + 2C(p - 4))|(C(p) = O(1.2721p))|
|只有 b 被标注|将 ab 或 bc 包含到边支配集进行分支|(C(p) \leq 2C(p - 4))|(C(p) = O(1.1893p))|
|只有 c 被标注|与只有 b 被标注情况类似，分支方式相同，递推式相同|(C(p) \leq 2C(p - 4))|(C(p) = O(1.1893p))|
|b 和 c 都被标注|将 bc 包含到边支配集或排除它进行两个分支|(C(p) \leq C(p - 6) + C(p - 2))|(C(p) = O(1.2107p))|

4.4 步骤 6 的分支操作

若有长度为 4 的纯路径 abcde 且 b 和 c 被标注，d 未被标注，根据顶点 e 是否为最小边支配集中某条边的端点分情况讨论：
- 若 e 不是端点，假设 ab 和 cd 在边支配集中，标注 e 的所有邻接点并删除 a、b、c、d、e，缩减 6 个 3 度顶点。
- 若 e 是端点，假设 bc 在边支配集中，删除 b、c、d 并标注 e，缩减 2 个 3 度顶点。得到递推式：
[C(p) \leq C(p - 6) + C(p - 2)]
解得 (C(p) = O(1.2107p))。

4.5 步骤 7 的分支操作

此步骤是最复杂的情况，但并非算法的瓶颈。首先证明该步骤中图的一些性质：
- 引理 3 ：步骤 7 中的图除长度为 1 的纯路径外，只有三种纯路径：
- 长度为 2 的纯路径 abc，其中 b 未被标注。
- 长度为 4 的纯路径 abcde，其中 c 被标注，b 和 d 未被标注。
- 长度为 5 的纯路径 abcdef，其中 c 和 d 被标注，b 和 e 未被标注。
- 引理 4 ：设 abcde 是长度为 4 的纯路径，c 被标注，b 和 d 未被标注，则存在一个不包含边 ab 的最小边支配集。
- 引理 5 ：设 abcdef 是长度为 5 的纯路径，c 和 d 被标注，b 和 e 未被标注，则存在一个不包含边 ab 的最小边支配集。

根据与顶点 v 关联的纯 2 - 路径数量分三种情况进行分支操作：
|情况|分支方式|递推式|结果|
|----|----|----|----|
|无纯 2 - 路径与 v 关联|若 a 只有一个 2 度邻接点 b，将 ac 或 ad 包含到边支配集或排除三条边进行分支|(C(p) \leq 2C(p - 6) + C(p - 4))|(C(p) )分析求解可得具体复杂度|
| |若 a 至少有两个 2 度邻接点 c 和 d，将 ab 包含到边支配集或排除三条边进行分支|(C(p) \leq C(p - 6) + C(p - 4))|(C(p) )分析求解可得具体复杂度|
|只有一个纯 2 - 路径与 v 关联（如 abb′）|若 c 和 d 都是 3 度顶点，对 abb′进行三个分支|(C(p) \leq 2C(p - 6) + C(p - 2))，进一步可得 (C(p) \leq 4C(p - 6))|(C(p) = O(1.2600p))|
| |若 c 或 d 至少有一个是 2 度顶点，将 ab、ad 包含到边支配集或排除 ab、ac、ad 进行三个分支|(C(p) \leq C(p - 6) + 2C(p - 4))|(C(p) = O(1.2721p))|
|至少有两个纯 2 - 路径与 v 关联（如 abb′和 acc′）|选取一个纯 2 - 路径（如 abb′）进行三个分支|(C(p) \leq C(p - 8) + C(p - 6) + C(p - 2))|(C(p) = O(1.2721p))|

5. 综合分析

在所有情况中，最坏情况是在 3 - 正则图分支时使用递推式 (C(p) \leq 3C(p - 6) + C(p - 4))。但实际上，在对 3 - 正则图分支后的每个子分支中，不会再得到 3 - 正则图。综合考虑后，得到递推式：
[C(p) \leq 2C(p - 8) + 3C(p - 6)]
解得 (C(p) = O(1.2721p))。

由此可得定理：最大度为 3 的图中的边支配集问题可以在 (O^ (1.2721p)) 时间和多项式空间内解决，其中 (p \leq n) 是图中 3 度顶点的数量。该结果改进了之前 (O^ (1.3226n)) 的最优结果。

6. 参数化算法

对于参数化边支配集问题，即判断一个 3 度图是否有大小为 k 的边支配集，有以下关键性质：
- 引理 6 ：设 G 是最大度为 3 的图。若 G 有 p 个 3 度顶点且有大小为 k 的边支配集，则 (k \geq \frac{3}{10}p)。

基于引理 6，解决参数化边支配集问题的步骤如下：
1. 统计输入图中 3 度顶点的数量 p。
2. 若 (k < \frac{3}{10}p)，报告该图没有大小为 k 的边支配集。
3. 否则，使用精确算法在 (O^ (1.2721p) = O^ (1.2721^{\frac{10}{3}k}) = O^*(2.2306k)) 时间内找到最小边支配集。

通过以上算法和分析，我们可以更高效地解决三度图中的边支配集问题。

三度图中的边支配集问题算法解析

7. 算法复杂度总结

从这个表格中可以直观地看到，不同的分支情况对应着不同的复杂度，而综合考虑所有情况后，算法的整体复杂度为 (O^*(1.2721p))，相较于之前的结果有了明显的改进。

8. 算法流程回顾

为了让大家更清晰地理解整个算法的执行过程，我们再次梳理一下算法的主要流程：
1. 图的缩减 ：如果图不是缩减图，应用缩减规则 1 - 3 对图进行处理，使其满足缩减图的条件。
2. 小组件处理 ：检查是否存在顶点数少于 20 的组件，若有则直接找出该组件的最优解。
3. 3 - 正则图分支 ：判断图是否为 3 - 正则图，若是则根据顶点是否标注进行相应的分支操作。
4. 纯 2 - 路径分支 ：查看是否有纯 2 - 路径 abc 且 b 被标注，若有则进行分支。
5. 纯 3 - 路径分支 ：判断是否存在纯 3 - 路径，若存在则根据 b 和 c 的标注情况进行不同的分支。
6. 纯 4 - 路径分支 ：检查是否有纯 4 - 路径 abcde 且 b 和 c 被标注，若有则进行分支。
7. 3 度顶点分支 ：若前面情况都不满足，选取一个与至少一个 2 度顶点相邻的 3 度顶点，根据关联的纯 2 - 路径数量进行分支。
8. 返回解 ：经过一系列分支操作后，最终返回一个解。

下面是这个流程的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[开始] --> B{是否为缩减图}
    B -- 否 --> C[应用规则 1 - 3 缩减图]
    B -- 是 --> D{是否有 <20 顶点组件}
    C --> D
    D -- 是 --> E[找组件最优解]
    D -- 否 --> F{是否为 3 - 正则图}
    E --> F
    F -- 是 --> G[对 3 - 正则图分支]
    F -- 否 --> H{是否有纯 2 - 路径 abc 且 b 标注}
    G --> I
    H -- 是 --> I[对纯 2 - 路径分支]
    H -- 否 --> J{是否有纯 3 - 路径}
    I --> K
    J -- 是 --> K[对纯 3 - 路径分支]
    J -- 否 --> L{是否有纯 4 - 路径 abcde 且 b 和 c 标注}
    K --> M
    L -- 是 --> M[对纯 4 - 路径分支]
    L -- 否 --> N[选 3 度顶点分支]
    M --> O
    N --> O[返回解]

9. 关键引理的作用分析

在算法分析过程中，我们引入了多个引理，这些引理对于推导算法的复杂度和证明算法的正确性起到了至关重要的作用，下面我们来详细分析一下这些引理的作用：
- 引理 1 ：该引理帮助我们在处理包含 1 度顶点的图时，能够明确在应用缩减规则 1 后，3 度顶点数量的缩减情况。这对于后续分析分支操作中 3 度顶点数量的变化，进而推导递推式和复杂度有着重要的意义。
- 引理 2 ：它保证了在应用规则 2 - 3 时，图中 3 度顶点的数量不会增加，使得我们在分析算法过程中可以基于 3 度顶点数量不增的前提进行推理，简化了复杂度的分析过程。
- 引理 3 ：明确了步骤 7 中图的纯路径类型，为后续根据关联的纯 2 - 路径数量进行分支操作提供了基础，使得我们能够清晰地划分不同的分支情况。
- 引理 4 和引理 5 ：这两个引理帮助我们在处理特定纯路径时，排除不必要的分支情况，减少了算法的搜索空间，提高了算法的效率。
- 引理 6 ：在参数化算法中，该引理为判断图是否存在大小为 k 的边支配集提供了一个必要条件，使得我们可以在某些情况下提前排除无解的情况，避免不必要的计算。