42、图的 k 边 - 顶点支配问题与分布式学习的资源自适应牛顿法

图的 k 边 - 顶点支配问题与分布式学习的资源自适应牛顿法

图的 k 边 - 顶点支配问题

在图论领域，k 边 - 顶点支配问题是一个重要的研究方向，主要聚焦于区间图和树这两类图。

对于区间图，若有一个具有 n 个顶点和 m 条边的区间图 G，k 边 - 顶点支配问题可以在 O(m lg m + kn) 时间内解决。这为处理区间图的相关问题提供了高效的算法思路。

而对于树，我们有专门的 M - T - EVD(T, S, k) 算法来解决 k 边 - 顶点支配问题。下面详细介绍该算法：
1. 输入 ：以 v0 为根的树 T，S ⊆ V (T)，正整数 k。
2. 输出 ：树 T 相对于 S 的最小 k 边 - 顶点支配集 D。
3. 算法步骤 ：
- 检查是否存在 x ∈ S 使得 |FG[x]| < k，如果存在则输出“there is not any k edge - vertex dominating set of T w.r.t. S”并退出。
- 若不存在上述情况，计算每个 j ∈ [4] 和 u ∈ V (T) 的 Ej(u)，并对集合 FT [u] 中的元素进行排序，使得若 xiyi ∈ Es(u)，xjyj ∈ Et(u) 且 s < t，则 i < j。
- 对集合 S 中的元素进行排序，使得 L−1(vq1) ≥ · · · ≥ L−1(vqt)。
- 初始化 D 为空集。
- 从 1 到 z 进行迭代：
- 若 |D ∩ (FT [vqi