10、量子态鉴别与保真度函数

量子态鉴别与保真度函数

1. 量子态鉴别

1.1 问题描述

在量子态鉴别中，存在这样一个场景：有寄存器 $X$ 和字母表 $\Sigma$，还有一个经典状态集为 $\Sigma$ 的寄存器 $Y$。设 $\eta: \Sigma \to Pos(X)$ 是一个已知的量子态集合。Alice 准备了经典 - 量子态 $\sigma = \sum_{a \in \Sigma} E_{a,a} \otimes \eta(a)$，其中寄存器 $Y$ 取每个值 $a \in \Sigma$ 的概率为 $p(a) = Tr(\eta(a))$，在 $Y = a$ 的条件下，$X$ 的状态被设置为 $\frac{\eta(a)}{Tr(\eta(a))}$。然后，寄存器 $X$ 被交给 Bob。Bob 的目标是仅通过对 $X$ 的测量来正确确定 $Y$ 中存储的经典状态。

对于 Bob 选择的任何测量 $\mu: \Sigma \to Pos(X)$，他正确预测 $Y$ 的经典状态的概率由表达式 $\sum_{a \in \Sigma} \langle \mu(a), \eta(a) \rangle$ 给出。因此，自然会考虑对所有测量 $\mu$ 最大化这个量。

更一般地，可以用任意形式为 $\varphi: \Sigma \to Herm(X)$ 的函数代替 $\eta: \Sigma \to Pos(X)$，并考虑对所有测量 $\mu: \Sigma \to Pos(X)$ 最大化量 $\sum_{a \in \Sigma} \langle \mu(a), \varphi(a) \rangle$。

1.2 半定规划求解

对于