初等数论 1.2 和与积

最新推荐文章于 2022-11-05 20:12:05 发布

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分类专栏：初等数论

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本文介绍了初等数论中关于求和的记号∑，详细阐述了求和的性质，包括加法、乘法等运算规则，并探讨了等比数列的求和公式。此外，还定义了求积记号∏以及阶乘函数，为数论的基础概念提供了清晰的解释。

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定义：求和记号 $∑\sum$ ： $∑k=1nak=a1+a2+⋯+an\sum_{k=1}^{n}{a_k}=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 其中 $k$ 为求和下标（index of summation）.
定理：求和的一些性质： $∑k=mncak=c∑k=mnak\sum_{k=m}^{n}{ca_k}=c\sum_{k=m}^{n}{a_k}$ $∑k=mnak+bk=∑k=mnak+∑k=mnbk\sum_{k=m}^{n}{a_k + b_k}=\sum_{k=m}^{n}{a_k}+\sum_{k=m}^{n}{b_k}$
$∑i=mn∑j=pqaibj=(∑i=mnai)(∑j=pqbj)=∑j=pq∑i=mnaibj\sum_{i=m}^{n}\sum_{j=p}^{q}{a_i}{b_j}=\left(\sum_{i=m}^{n}{a_i}\right)\left(\sum_{j=p}^{q}{b_j}\right)=\sum_{j=p}^{q}\sum_{i=m}^{n}{a_ib_j}$

等比数列 $a,ar,⋯ ,ark,⋯a,ar,\cdots,ar^k,\cdots$ 的前 $n + 1$ 项的和 $S=∑j=0narj={(n+1)ar=1arn+1−ar−1r≠1S=\sum_{j=0}^{n}{ar^j}=\left\{\begin{aligned}\left(n+1\right)a\quad\quad r=1\\\frac{ar^{n+1}-a}{r-1}\quad\quad r\neq1\end{aligned}\right.$

定义：求积记号 $∏\prod$ ： $∏k=1nak=a1a2⋯an\prod_{k=1}^{n}{a_k}=a_1a_2\cdots a_n$
定义：阶乘函数（factorial function）： $n!:=∏j=1njn∈N+n!:=\prod_{j=1}^{n}{j}\quad\quad n\in\N^+$