本文探讨了伽马函数Γ(α)和贝塔函数B(a,b)的基本定义、关键性质，如Γ(1)=1, Γ(1/2)=π和B(a,b)=B(b,a)，以及它们之间的关系B(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)。深入理解这两个重要的数学工具在实际问题中的应用。
伽马函数
称以下函数
Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha -1}e^{-x}{\rm d}xΓ(α)=∫0∞xα−1e−xdx
为 伽马函数，其中参数 α>0\alpha>0α>0，伽马函数具有以下性质
1.Γ(1)=1,Γ(12)=π\Gamma(1)=1,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}Γ(1)=1,Γ(21)=π
2. Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)Γ(α+1)=αΓ(α).当 α\alphaα 为自然数 nnn 时，有 Γ(n+1)=nΓ(n)=n!\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!Γ(n+1)=nΓ(n)=n!
贝塔函数
称以下函数
B(a,b)=∫01xa−1(1−x)b−1B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}B(a,b)=∫01xa−1(1−x)b−1
为 贝塔函数 ，其中参数 a>0,b>0a>0,b>0a>0,b>0,贝塔函数具有以下性质
- B(a,b)=B(b,a)B(a,b)=B(b,a)B(a,b)=B(b,a)
- 贝塔函数与伽马函数间有关系
B(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
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