本文探讨了伽马函数Γ(α)和贝塔函数B(a,b)的基本定义、关键性质，如Γ(1)=1, Γ(1/2)=π和B(a,b)=B(b,a)，以及它们之间的关系B(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)。深入理解这两个重要的数学工具在实际问题中的应用。
伽马函数
称以下函数
Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha -1}e^{-x}{\rm d}x Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx
为 伽马函数，其中参数 α > 0 \alpha>0 α>0，伽马函数具有以下性质
1.
Γ
(
1
)
=
1
,
Γ
(
1
2
)
=
π
\Gamma(1)=1,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
Γ(1)=1,Γ(21)=π
2.
Γ
(
α
+
1
)
=
α
Γ
(
α
)
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)
Γ(α+1)=αΓ(α).当
α
\alpha
α 为自然数
n
n
n 时，有
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
n
!
\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n!
贝塔函数
称以下函数
B ( a , b ) = ∫ 0 1 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1} B(a,b)=∫01xa−1(1−x)b−1
为 贝塔函数 ，其中参数 a > 0 , b > 0 a>0,b>0 a>0,b>0,贝塔函数具有以下性质
- B ( a , b ) = B ( b , a ) B(a,b)=B(b,a) B(a,b)=B(b,a)
- 贝塔函数与伽马函数间有关系
B ( a , b ) = Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( a + b ) B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
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