欧拉Gamma函数、Beta函数、余元公式

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#数学

于 2021-10-03 20:29:17 首次发布

本文详细探讨了欧拉Gamma函数的定义、积分表达式、高斯形式及其与sinπx的关系。同时介绍了余元公式及其在特定情况下的应用。此外，还阐述了欧拉Beta函数，揭示了它与Gamma函数的联系，并展示了Beta函数的一些关键性质。最后，讨论了Gamma函数的导数，特别是其在x=1处的导数计算。这些内容对于理解复杂数学函数及其在数学分析中的作用至关重要。

一，欧拉Gamma函数

1，Gamma函数

$\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} d t$

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$

$\Gamma(n+1)=n!$

2，t^a * (1-t)^b的定积分

$\begin{aligned} & \int_{0}^{1} t^{a}(1-t)^{b+1} d t \\ =& \int_{0}^{1}(1-t)^{b+1} \cdot \frac{1}{a+1} \cdot d\left( t^{a+1}\right) \\ =&-\frac{1}{a+1} \int_{0}^{1} t^{a+1} \cdot d\left((1-t)^{b+1}\right) \\ =& \frac{b+1}{a+1} \int_{0}^{1} t^{a+1}(1-t)^{b} d t \end{aligned}$

不断的利用此式子，把b降为0即可得到，

$\int_{0}^{1} t^{a}(1-t)^{b+1} d t=\frac{b+1}{a+1} \cdot \frac{b}{a+2} \cdot \frac{b-1}{a+3} \cdot \cdots \frac{1}{a+b+1} \cdot \int_{0}^{1} t^{a+b+1} d t$

即 $\int_{0}^{1} t^{a}(1-t)^{b} d t=\frac{a! * b!}{(a+b+1)!}$

3，Gamma函数的高斯形式

$\Gamma(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n !}{x(x+1) \cdots \cdot(x+n)} \cdot n^{x}$

证明：

4，sin πx

$\sin \pi x=\pi x \lim _{n \rightarrow+\infty} \prod ^n_{k=1}\left(1-\frac{x^{2}}{k^{2}}\right)$

证明：

5，其他形式

（1）

$\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} d t$

（2）

二，余元公式

1，余元公式

$\Gamma(x) \Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x}$

证明：

$\Gamma (x) \Gamma (1-x) =\lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{n ! \cdot n^{x} \cdot n ! \cdot n^{1-x}}{x(x+1) \cdots(x+n) (1-x)(2-x) \cdots(n+1-x)}$

$=\frac{1}{x\lim _{n\rightarrow+\infty} \left(\frac{1-x^{2}}{1^{2}} \cdot \frac{2^2-x^{2}}{2^{2}} \cdots \ldots \frac{n^{2}-x^{2}}{n^{2}}\right)}=\frac{\pi}{\sin \pi x}$

2，应用

（1） $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt \pi$

即 $\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{-1/2} d t=\sqrt\pi$

（2）上式中，令 $t=u^2$ ，则

$\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\frac{\sqrt\pi}{2}$

（3） $\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!\sqrt\pi}{2^n}$

三，欧拉Beta函数

1，Beta函数

$B(x, y)=\int_{0}^{1} t^{x-1}(1-t)^{y-1} d t, \quad x>0, y>0$

2，和Gamma函数的关系

$B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

证明：

（1）取 $t=sin^2\theta$ ，则

$B(x, y)=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin \theta)^{2 x-1}(\cos \theta)^{2y-1} d \theta$

（2） $\Gamma(x) \Gamma(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-u} u^{x- 1} d u \int_{0}^{+\infty} e^{-v} v^{y-1} d v$

设 $u=a^2,v=b^2$ ，则

$\begin{aligned} \Gamma(x) \Gamma(y)&=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\left(\alpha^{2}+b^{2}\right)}|a|^{2 x-1}|b|^{2 y-1} d a d b, \quad a=r \cos \theta, b=r \sin \theta\\ &=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^{2}}|r \cos \theta|^{2 x-1}|r \sin \theta|^{2y-1} r d r d \theta\\ &=\int_{0}^{+\infty} e^{-r^{2}} r^{2 x+2 y-1} d r \int_{0}^{2 \pi}|\cos \theta|^{2 x- 1}|\sin \theta|^{2 y-1} d \theta\\ &=\frac{1}{2} \Gamma(x+y) \times 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2 x-1} \theta \sin ^{2y-1} \theta d \theta\\ &=\Gamma(x+y) B(x, y) \end{aligned}$

3，Beta函数的性质

四，Gamma函数的导数

1，拆分

$\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} d t$ $=\int_{0}^{1} e^{-t} t^{x-1} d t+\int_{1}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} d t$

其中 $\int_{0}^{1} e^{-t} t^{x-1} d t$ 显然可导

2，可导

设 $f(x)=\int_{1}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} d t$ ，则f(x)严格递增

$\begin{aligned} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=&\quad \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \int_{1}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} \frac{t^{\Delta x}-1}{\Delta x} d t\\ &=\int_{1}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} \ln t d t \end{aligned}$