中心极限定理

林德伯格–莱维中心极限定理
设 {Xn}\{X_n\}{Xn​} 是独立同分布的随机变量序列，且 $E(X_i)=\mu$,$Var(X_i)={\sigma }^2>0$ 存在，若记

$$Y_n^{\ast }=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}$$

则对任意实数 $y$,有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(Y_n^{\ast }⩽y)=\varphi (y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^y{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$$

棣莫弗–拉普拉斯中心极限定理
设 $n$ 重伯努利实验中，事件 $A$ 在每次试验中出现的概率为 $p$,记 $S_n$ 为 $n$ 次实验中事件 $A$ 出现的次数，且记

$$Y_n^{\ast }=\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}$$

则对任意实数 $y$,有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(Y_n^{\ast }⩽y)=\varphi (y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^y{e}^{-}\frac{t^2}{2}\mathrm{d}t$$