n倍角公式的行列式形式与证明

本文提出了一种新颖的方法来表示正弦和余弦的倍角公式,通过构造特定形式的矩阵并计算行列式的方式给出证明。利用数学归纳法验证了该表示方法的有效性。

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题目: 证明 nnn 倍角公式
cos⁡nx=∣cos⁡x10⋯0012cos⁡x1⋯00012cos⁡x⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cos⁡x1000⋯12cos⁡x∣n×n(1)\cos nx= \begin{vmatrix} \cos x&1 & 0 &\cdots&0&0\\ 1 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\ 0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos x \end{vmatrix}_{n\times n}\tag{1}cosnx=cosx100012cosx100012cosx000002cosx100012cosxn×n(1)
sin⁡nx=∣sin⁡x00⋯0002cos⁡x1⋯00012cos⁡x⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cos⁡x1000⋯12cos⁡x∣n×n(2)\sin nx= \begin{vmatrix} \sin x&0 & 0 &\cdots&0&0\\ 0 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\ 0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos x \end{vmatrix}_{n\times n}\tag{2}sinnx=sinx000002cosx100012cosx000002cosx100012cosxn×n(2)


参考答案: 先证明

cos⁡(n+1)x=2cos⁡nxcos⁡x−cos⁡(n−1)x(3)\cos(n+1)x=2\cos nx\cos x-\cos(n-1)x\tag{3}cos(n+1)x=2cosnxcosxcos(n1)x(3)

因为
cos⁡(n+1)x+cos⁡(n−1)x=cos⁡nxcos⁡x−sin⁡nxsin⁡x+cos⁡nxcos⁡x+sin⁡nxsin⁡x=2cos⁡nxcos⁡x\begin{aligned}\cos(n+1)x+\cos(n-1)x&=\cos nx\cos x-\sin nx\sin x+\cos nx\cos x+\sin nx\sin x\\ &=2\cos nx\cos x\end{aligned}cos(n+1)x+cos(n1)x=cosnxcosxsinnxsinx+cosnxcosx+sinnxsinx=2cosnxcosx

从而移项即可证明原式 (3)(3)(3)

使用数学归纳法证明式 (1)(1)(1)

n=1n=1n=1 时,式(1)(1)(1) 显然成立,假设当 n⩽kn\leqslant knk 式,式 (1)(1)(1) 成立,那么当 n=k+1n=k+1n=k+1
∣cos⁡x10⋯0012cos⁡x1⋯00012cos⁡x⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cos⁡x1000⋯12cos⁡x∣(k+1)×(k+1)A=按最后一行展开2cos⁡x∣cos⁡x10⋯012cos⁡x1⋯0012cos⁡x⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯2cos⁡x∣(k×k−∣cos⁡x10⋯0012cos⁡x1⋯00012cos⁡x⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cos⁡x1000⋯12cos⁡x∣(k−1)×(k−1)=2cos⁡xcos⁡kx−cos⁡(k−1)x=cos⁡(n+1)x\begin{aligned} \begin{vmatrix} \cos x&1 & 0 &\cdots&0&0\\ 1 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\ 0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos x \end{vmatrix}_{(k+1)\times (k+1)}A&\xlongequal{\text{按最后一行展开}}2\cos x\begin{vmatrix} \cos x&1 & 0 &\cdots&0\\ 1 &2\cos x&1 &\cdots&0\\ 0 &1 &2\cos x &\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos x\\ \end{vmatrix}_{(k\times k}-\begin{vmatrix} \cos x&1 & 0 &\cdots&0&0\\ 1 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\ 0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos x \end{vmatrix}_{(k-1)\times (k-1)}\\ &=2\cos x\cos kx-\cos(k-1)x\\ &=\cos(n+1)x\end{aligned}cosx100012cosx100012cosx000002cosx100012cosx(k+1)×(k+1)A按最后一行展开2cosxcosx10012cosx10012cosx00002cosx(k×kcosx100012cosx100012cosx000002cosx100012cosx(k1)×(k1)=2cosxcoskxcos(k1)x=cos(n+1)x
符合式 (1)(1)(1)

(2)(2)(2) 式同理可证


2021年2月10日12:54:22

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