题目: 证明 nnn 倍角公式
cosnx=∣cosx10⋯0012cosx1⋯00012cosx⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cosx1000⋯12cosx∣n×n(1)\cos nx=
\begin{vmatrix}
\cos x&1 & 0 &\cdots&0&0\\
1 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\
0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\
0&0&0&\cdots&1&2\cos x
\end{vmatrix}_{n\times n}\tag{1}cosnx=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣cosx10⋮0012cosx1⋮00012cosx⋮00⋯⋯⋯⋯⋯000⋮2cosx1000⋮12cosx∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n×n(1)
sinnx=∣sinx00⋯0002cosx1⋯00012cosx⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cosx1000⋯12cosx∣n×n(2)\sin nx=
\begin{vmatrix}
\sin x&0 & 0 &\cdots&0&0\\
0 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\
0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\
0&0&0&\cdots&1&2\cos x
\end{vmatrix}_{n\times n}\tag{2}sinnx=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣sinx00⋮0002cosx1⋮00012cosx⋮00⋯⋯⋯⋯⋯000⋮2cosx1000⋮12cosx∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n×n(2)
参考答案: 先证明
cos(n+1)x=2cosnxcosx−cos(n−1)x(3)\cos(n+1)x=2\cos nx\cos x-\cos(n-1)x\tag{3}cos(n+1)x=2cosnxcosx−cos(n−1)x(3)
因为
cos(n+1)x+cos(n−1)x=cosnxcosx−sinnxsinx+cosnxcosx+sinnxsinx=2cosnxcosx\begin{aligned}\cos(n+1)x+\cos(n-1)x&=\cos nx\cos x-\sin nx\sin x+\cos nx\cos x+\sin nx\sin x\\ &=2\cos nx\cos x\end{aligned}cos(n+1)x+cos(n−1)x=cosnxcosx−sinnxsinx+cosnxcosx+sinnxsinx=2cosnxcosx从而移项即可证明原式 (3)(3)(3)
使用数学归纳法证明式 (1)(1)(1)
当 n=1n=1n=1 时,式(1)(1)(1) 显然成立,假设当 n⩽kn\leqslant kn⩽k 式,式 (1)(1)(1) 成立,那么当 n=k+1n=k+1n=k+1 时
∣cosx10⋯0012cosx1⋯00012cosx⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cosx1000⋯12cosx∣(k+1)×(k+1)A=按最后一行展开2cosx∣cosx10⋯012cosx1⋯0012cosx⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯2cosx∣(k×k−∣cosx10⋯0012cosx1⋯00012cosx⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cosx1000⋯12cosx∣(k−1)×(k−1)=2cosxcoskx−cos(k−1)x=cos(n+1)x\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
\cos x&1 & 0 &\cdots&0&0\\
1 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\
0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\
0&0&0&\cdots&1&2\cos x
\end{vmatrix}_{(k+1)\times (k+1)}A&\xlongequal{\text{按最后一行展开}}2\cos x\begin{vmatrix}
\cos x&1 & 0 &\cdots&0\\
1 &2\cos x&1 &\cdots&0\\
0 &1 &2\cos x &\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&2\cos x\\
\end{vmatrix}_{(k\times k}-\begin{vmatrix}
\cos x&1 & 0 &\cdots&0&0\\
1 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\
0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\
0&0&0&\cdots&1&2\cos x
\end{vmatrix}_{(k-1)\times (k-1)}\\
&=2\cos x\cos kx-\cos(k-1)x\\
&=\cos(n+1)x\end{aligned}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣cosx10⋮0012cosx1⋮00012cosx⋮00⋯⋯⋯⋯⋯000⋮2cosx1000⋮12cosx∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(k+1)×(k+1)A按最后一行展开2cosx∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣cosx10⋮012cosx1⋮0012cosx⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮2cosx∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(k×k−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣cosx10⋮0012cosx1⋮00012cosx⋮00⋯⋯⋯⋯⋯000⋮2cosx1000⋮12cosx∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(k−1)×(k−1)=2cosxcoskx−cos(k−1)x=cos(n+1)x
符合式 (1)(1)(1)
(2)(2)(2) 式同理可证
2021年2月10日12:54:22