n倍角公式的行列式形式与证明

最新推荐文章于 2025-06-13 15:23:07 发布

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抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

本文提出了一种新颖的方法来表示正弦和余弦的倍角公式，通过构造特定形式的矩阵并计算行列式的方式给出证明。利用数学归纳法验证了该表示方法的有效性。

题目： 证明 $n$ 倍角公式
$cos⁡nx=∣cos⁡x10⋯0012cos⁡x1⋯00012cos⁡x⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cos⁡x1000⋯12cos⁡x∣n×n(1)\cos nx= \begin{vmatrix} \cos x&1 & 0 &\cdots&0&0\\ 1 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\ 0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos x \end{vmatrix}_{n\times n}\tag{1}$
$sin⁡nx=∣sin⁡x00⋯0002cos⁡x1⋯00012cos⁡x⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cos⁡x1000⋯12cos⁡x∣n×n(2)\sin nx= \begin{vmatrix} \sin x&0 & 0 &\cdots&0&0\\ 0 &2\cos x&1 &\cdots&0&0\\ 0 &1 &2\cos x &\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos x \end{vmatrix}_{n\times n}\tag{2}$