棣莫弗公式整理

最新推荐文章于 2024-02-12 00:28:12 发布

废柴姐姐

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分类专栏：数学整理

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本文详细介绍了棣莫弗公式（de Moivre's formula）的两种证明方法：通过欧拉公式和数学归纳法。内容包括复数相乘的几何意义，如何利用该公式求解向量旋转问题，以及证明正弦和余弦的n倍角公式。文章适合对复数和三角函数有一定了解的读者。

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证明：棣莫弗 $de Moivre)^{[1]}$ 公式

$cos n x+i \sin n x=(\cos x+i \sin x)^{n}$

方法1→欧拉公式
引入欧拉公式： $e^{ix}=cosx+isinx$
将 $e^t$ ， $s i n t$ ， $c o s t$ 分别展开为泰勒级数：
$et=1+t+t22!+t33!+⋯+tnn!+⋯e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+ \cdots +\frac{t^n}{n!}+ \cdots$

$sint=t−t33!+t55!−t77!+⋯+(−1)n−1z2n−1(2n−1)!+⋯sint=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\frac{t^7}{7!}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{z^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+\cdots$

$cost=1−t22!+t44!−t66!+⋯+(−1)nz2n(2n)!+⋯cost=1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{z^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots$

将 $t = i x$ 代入以上三式，可得欧拉公式

$)=cosx+isinx\begin{aligned} e^{i x} &=1+i z+\frac{(i z)^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{(i z)^{n}}{n !}+\cdots\\ &=1+i z-\frac{z^{2}}{2 !}-i \frac{z^{3}}{3 !}+\frac{z^{4}}{4 !}+i \frac{z^{5}}{5 !}+\cdots \\ &=\left(1-\frac{z^{2}}{2 !}+\frac{z^{4}}{4 !}+\cdots\right)+i\left(z-\frac{z^{3}}{3 !}+\frac{z^{5}}{5 !}+\cdots\right)\\ &=cosx+isinx \end{aligned}$