棣莫弗定理和n倍角

棣弗莫公式

设两个 复数 （用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则：

Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]。

证：先讲一下 复数 的三角形式的概念。在 复平面 C上，用向量 Z (a,b）来表示Z=a+bi。于是，该向量可以分成两个在实轴，

虚轴上的分向量.如果向量 Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）。

所以， 复数 Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）。这里θ称为 复数 Z的辐角。

因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以

Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）

=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）

=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]

=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]

实际上由欧拉恒等式：e^ix  = cosx + isinx，就可以得到上面的式子。

其实该定理可以推广为一般形式：

设n个 复数 Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].

实际上可以用棣弗莫公式来理解欧拉公式。

由棣弗莫公式可以得到：

将其二项式展开即可得到n倍角公式。