行列式的几何意义、计算公式

近期回顾了下行列式的计算方法，以及其几何意义，本文是作者的一点浅薄理解。欢迎朋友们一起交流。
 线性代数系列文章见专栏，下面是往期内容：

为什么要学线性代数

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正题：

每一个线性变换都对应着一个变换矩阵，被变换后的空间，相对之前来说也发生了一定的形变，而行列式的意义则是线性变换前后，空间形变的倍数。

以二维空间为例，旋转变换就是一种线性变换(不了解旋转变换的请看上条推送)，其对应的矩阵叫旋转矩阵：

该变换作用在二维空间的任一个向量，相当于将该向量逆时针旋转θ角度，于是该变换可以把整个二维空间旋转θ角度。

因为只是单纯的旋转，面积不发生变化，所以形变的倍数为1，正如该矩阵的行列式，cos^2+sin^2=1。

其他的一些变换，有的将空间伸展，有的将空间挤压，此时形变倍数就不为1了。假设有线性变换矩阵：

该矩阵将二维空间沿着水平方向伸展3倍，垂直方向不变。还是用上一篇推送的例子，假设有如下图形：

可知面积为5，将线性变换矩阵作用于图中的三个向量，比如[-1  3]T