高斯引理

高斯引理

两个本原多项式的乘积还是本原多项式

证明

设
$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{0}g(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_n$$
是两个本原多项式，而
$$h(x)=f(x)g(x)=d_{n+m}{x}^{n+m}+d_{n+m-1}{x}^{n+m-1}+\cdots +d_0$$
是它们的乘积。我们用反证法，如果 $h(x)$ 不是本原的，也就是说，$h(x)$ 的系数 $d_{n+m},d_{n+m-1},\cdots ,d_0$ 有一异于 $\pm 1$ 的公因子，那么就有一个素数 $p$ 能整除 $h(x)$ 的每一个系数。因为 $f(x)$ 是本原的，所以 $P$ 不能同时整除 $f(x)$ 的每一个系数。令 $a_i$ 是第一个不能被 $p$ 整除的系数，即：
$$P|a_0,\cdots ,p|a_{i-1},p\nmid a_i$$
同样地，$g(x)$ 也是本原的，令 $b_j$ 是第一个不能被 $p$ 整除的系数，即
$$P|b_0,\cdots ,P|b_{j-1},p\nmid b_j$$
而
$$d_{i+j}=a_i{b}_j+a_{i+1}{b}_{j-1}+a_{i+2}{b}_{j-2}+\cdots +a_{i-1}{b}_{j+1}+a_{i-2}{b}_{j+2}+\cdots$$
由上面的假设，$p$ 整除等式左端的 $d_{i+j}$ ，$p$ 整除右端 $a_i{b}_j$ 以外的每一项，但是 $p$ 不能整除 $a_i{b}_j$. 这是不可能的。这就证明了， $h(x)$ 一定也是本原多项式