f(x)和g(x)分别是概率密度函数，h(x)=f(x)g(x)还会是概率密度函数么?

皮皮君

于 2019-05-16 13:23:14 发布

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分类专栏：算法导论文章标签：概率密度函数 pdf

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本文通过一个正态分布的例子，阐述了两个独立的概率密度函数相乘后得到的函数不一定还是概率密度函数。文中使用了极限坐标变换来求解积分，并通过MATLAB进行了验证。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

答案是否定的。

我们举个正态分布的例子。

假设 $f(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}$ ,也就是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是标准正态分布N(0,1)的。

令 $h(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{2\pi }e^{-x^2}$ 。注意，相乘纯粹是数学意义上的，至于物理意义这里没有给出，明显它也不代表联合概率密度函数定义，因为联合概率密度讨论的是两个不同的随机变量之间的问题，密度函数中肯定即包含x也包含y。这里纯粹是相乘！

现在就是要验证 $\int_{-\infty }^{+\infty}h(x)dx=1$ 是不是成立？(答案是否定的)

$\int_{-\infty }^{+\infty}h(x)dx$

$=\int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{2\pi}e^{-x^2}dx$

$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx$

因此，实际就是要证明 $\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx=2\pi$ (实际上是否定的)

令 $I=\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx$ ，则

$I^2=\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty }^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

利用极限坐标变换求上式：

$I^2=\int_{-\infty }^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

$=\int_{0 }^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2}rd\Theta dr$

$=2\pi\int_{0}^{+\infty}re^{-r^2}dr$

$=\pi$

因此 ${\color{Magenta} I=\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}}$ ,

因此， ${\color{Magenta} \int_{-\infty }^{+\infty}h(x)dx=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}}$

这个例子告诉我们：

f(x)和g(x)分别是概率密度函数，h(x)=f(x)g(x)并不一定是概率密度函数。

可以用matlab验证：

syms x;
f1=exp(-x^2);
s1=int(f1,-inf,+inf)
s1=

pi^(1/2)

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