【JZOJ 3432】【OnlineJudge 1061】小M的服务器（含斜率优化解释）

Description

我们需要将一个文件复制到n个服务器上，这些服务器的编号为S1, S2, …, Sn。

首先，我们可以选择一些服务器，直接把文件复制到它们中；将文件复制到服务器Si上，需要花费ci > 0的置放费用。对于没有直接被复制文件的服务器Si来说，它依次向后检查Si+1, Si+2, …直到找到一台服务器Sj：Sj中的文件是通过直接复制得到的，于是Si从Sj处间接复制得到该文件，这种复制方式的读取费用是j – i（注意j>i）。另外，Sn中的文件必须是通过直接复制得到的，因为它不可能间接的通过别的服务器进行复制。我们设计一种复制方案，即对每一台服务器确定它是通过直接还是间接的方式进行复制（Sn只能通过直接方式），最终使每一台服务器都得到文件，且总花费最小。

Solution

首先这题的60分方法很简单，只用$f_i$表示第i个必选的最小代价；
我们来考虑考虑用斜率优化，
设当前到i，状态j比k要优（j在前），则有：

$$f_j+\frac{(j-i)*(j-i-1)}{2}<f_k+\frac{(k-i)*(k-i-1)}{2}$$
移项：
$$\frac{f_j-f_k+\frac{j^2-k^2-j+k}{2}}{j-k}<i$$
用g(j,k)来表示这个东西，搞一波斜率优化DP即可，
复杂度：$O(2n)$;

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这里顺便讲一下斜率优化：

斜率优化

斜率优化的g函数是一定满足一个单调性的，前面的一定优于后面的，以本题为例：
设队列中的元素依次为$j_1，j_2,，j_3, ...$，
有：（这个显然）

$$i>g(j_1,j_2)，i>g(j_2,j_3)，i>g(j_3,j_4)...$$
也有：
$$i>g(j_1,j_2)>g(j_2,j_3)>g(j_3,j_4)>...$$
解释如下：假设相邻的3个元素：$j_1,j_2,j_3$，
要想保证以上的式子，就必须当$g(j_1,j_2)<g(j_2,j_3)$时，删除$j_2$，
因为：假设$j_2$最优，则：
$$g(j_1,j_2)>i$$
$$g(j_2,j_3)<i$$
$$g(j_2,j_3)<i<g(j_1,j_2)$$
与上面的假设冲突，所以假设不成立，
所以当$g(j_1,j_2)<g(j_2,j_3)$时，删除$j_2$，
所以整个式子满足：$i>g(j_1,j_2)>g(j_2,j_3)>g(j_3,j_4)>...$

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(LL i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000500;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int n;
int a[N],S,T;
LL f[N],d[N];
double G(LL i,LL j){return(1.0*(f[i]-f[j]+(i*i-j*j-i+j)/2)/(i-j));} 
int main()
{
    read(n);
    fo(i,1,n) read(a[i]);
    f[n]=a[n];d[S=T=1]=n;
    fod(i,n-1,0)
    {
        while(T>S&&G(d[S],d[S+1])>i)S++;
        f[i]=(d[S]-i)*(d[S]-i-1)/2+f[d[S]]+a[i];
        while(T>S&&G(d[T-1],d[T])<G(d[T],i))T--;
        d[++T]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[0]);
    return 0;
}