【考研数学：高数2】数列极限

是兰兰呀~

已于 2024-12-19 18:05:26 修改

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分类专栏：考研数学文章标签：考研笔记

于 2024-11-12 15:46:26 首次发布

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前言

本文为张宇老师《基础三十讲》高数第二讲的自用笔记。不做商用，侵删致歉！

例题的序号，以3.1为例，意思是第三个的第1个例题，总之从标题一（一、二、三酱紫的）往里数就是。

这一讲题目有点难，所以部分题目不像上一篇那样分思路和解法啦，只把思路尽可能写清楚。

一、数列极限的概念

通俗的理解，数列就是函数 $eq?y%3Df%28x%29$ 里取一个个离散的点。简记为数列 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 。由于也是从函数里来的，所以数列也可以看做函数 $eq?x_n%3Df%28n%29%2Cn%5Cin%20N_+$ ，就是自变量取值变化了而已。

图示大概酱紫：

子列就是再从这个数列里取无穷多项：

（下面是几个超少又很重要的点，少的我单独分一个标题都感觉太奢侈了……）

1.常见前n项和

$eq?%5Csum%20%5En_%7Bk%3D1%7Dk%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n-1%29%282n+1%29%7D%7B6%7D$

$eq?%5Csum%20%5En_%7Bk%3D1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%28k+1%29%7D%3D%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn+1%7D$

2.等差、等比数列

数列	通项公式	求和公式
等差数列	$eq?a_n%3Da1+%28n-1%29d$	$eq?S_n%3D%5Cfrac%7Bn%28a_1+a_n%29%7D%7B2%7D$
等比数列	$eq?a_n%3Da_1r%5E%7Bn-1%7D$	$eq?S_n%3D%5Cfrac%7Ba_1%281-r%5En%29%7D%7B1-r%7D$

3.数列的性质

（1）单调性

$eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 单调状态	$eq?a_%7Bn+1%7D$ 与 $eq?a_n$
增	$eq?a_%7Bn+1%7D%3E%20a_n$
减	$eq?a_%7Bn+1%7D%3C%20a_n$
不减	$eq?a_%7Bn+1%7D%5Cgeqslant%20a_n$
不增	$eq?a_%7Bn+1%7D%5Cleqslant%20a_n$

（写那么麻烦只是为了好表达+跟上一篇函数单调性保持一致）

（2）有界性

跟函数一样，要是该数列全部都在“两条线内”，那么就是有界。注意，这里说的是“全部”，所以数列有界跟函数有界不一样，不用说明区间。

如果所有正整数，都有正整数n，存在正实数M，有 $eq?%5Cleft%20%7C%20a_n%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20M$ ，则称数列 $eq?%5C%7Ba_n%5C%7D$ 为有界数列。

二、数列极限的定义

$eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n%3Da%5CLeftrightarrow%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N%5Cin%20N_+%2C$ 当 $eq?n%3EN$ 时，恒有 $eq?%5Cleft%20%7C%20x_n-a%20%5Cright%20%7C%3C%5Cvarepsilon$

①a=0，称“无穷小量”；a为无穷，称“无穷大量”

②数列收敛，任何子列也收敛且收敛到同一个数

推论： $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Da_n%3Da%5CLeftrightarrow%20%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Da_%7B2k%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Da_%7B2k-1%7D%3Da$

常取逆否命题证明数列不收敛：找到一个发散子列或找到两个收敛于不同极限的子列

比如 $eq?%5C%7Bn%5E%7B%28-1%29%5En%7D%5C%7D$ ，取子列 $eq?%5C%7B2n%5C%7D%3A2%2C4%2C...%2C2n%2C...$ 。发散，所以原数列发散

又比如 $eq?%5C%7B%7B%28-1%29%5En%7D%5C%7D$ ，取奇数项形成子列收敛于-1，取偶数项形成子列收敛于1，子列不收敛于同一个数，所以原数列发散

③ $eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n%3DA%5CRightarrow%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Cleft%20%7Cx_n%20%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7CA%20%5Cright%20%7C$ ， $eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%20%7Df%28x%29%3DA%5CRightarrow%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%20%7D%5Cleft%20%7Cf%28x%29%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7CA%20%5Cright%20%7C$ $eq?%5Cbigstar$

倒过来不能推，还是可以用 $eq?%5C%7B%7B%28-1%29%5En%7D%5C%7D$ 来记忆。

若A为0，则可以反推： $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n%3D0%5CLeftrightarrow%20%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Cleft%20%7Cx_n%20%5Cright%20%7C%3D0$ ，常用于夹逼准则

三、收敛数列的性质

1.概念

唯一性，有界性，保号性。这些和函数极限的性质差不多，不赘述。

2.例题

例3.1： $eq?a_n%3D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%7D-%5Cfrac%7B%28-1%29%5En%7D%7Bn%7D$ ，则 $eq?a_n$ 有没有最大最小值

思路：

这题其实是“脱帽法”的应用。

一般数列都喜欢先代前几个数进去看看，看的出规律最好，看不出……另说哈哈

$eq?%5C%7Ba_n%5C%7D%3A2%2C%5Csqrt%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C...$

别看了，肯定看不出规律

看回这道题本身，问的是最值。我们要明确这两点：1.最值是比较出来的；2.有限项才能比较。

所以怎么让数列这个无限项变成有限项呢？要用收敛数列的保号性。保号性说，数列收敛于某一个大于a（或小于a）的数，那么该数列从某项起后面所有的项都大于a（或小于a）

“从某项起”前面的一定是有限项，有限项肯定就能比较出最大最小值，而“后面所有的项”又恰好舍弃了无限项。利用保号性等于是把无限项的比较变成了一个有限项的比较。

因为保号性是收敛数列的性质，所以先看这个数列的极限。

$eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Da_n%3D1$

用文字解释一下上面这个式子的意思：一定存在n，使得n后面的数列都无限靠近1。无限靠近是什么意思呢？是不是一定比2小，比 $eq?%5Csqrt%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Capprox%200.9$ 大？也就意味着，n后面的无限项没有第一项大，不可能是最大值，没有第二项小，不可能是最小值。那么n后面的无限项也就没有参与比较的资格了。而n前面又是有限项，是一定能比出最大最小值的。

解：

$eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Da_n%3D1%3Ca_1$ ，则存在 $eq?N_1%3E0$ ，当 $eq?n%3EN_1$ 时， $eq?a_n%3Ca_1$

（后面的无限项不可能是最大值）

$eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Da_n%3D1%3Ea_2$ ，则存在 $eq?N_2%3E0$ ，当 $eq?n%3EN_2$ 时， $eq?a_n%3Ea_2$

（后面的无限项不可能是最小值）

取 $eq?N%3Dmax%5C%7BN_1%2CN_2%5C%7D$ ，当 $eq?n%3EN$ 时， $eq?a_n$ 不可能是最大最小值

（无限项不可能是最大最小值）

所以前面有限项一定存在最大最小值

这是某一年（我不记得哪年了）的考研题。不妨总结一下：

存在大于极限的项，则数列有最大值；存在小于极限的项，则数列有最小值。

四、极限的四则运算

若 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20x_n%3Da$ ， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20y_n%3Db$ ，那么：

① $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20%28x_n%5Cpm%20y_n%29%3Da%5Cpm%20b$

② $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20x_ny_n%3Dab$

③ $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20%28%5Cfrac%7Bx_n%7D%7By_n%7D%29%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D$

五、海涅定理（归结原则）

1.概念

设f(x)在 $eq?U%28x_0%2C%5Cdelta%20%29$ 内有定义，则 $eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%7Df%28x%29%3DA$ 存在 $eq?%5CLeftrightarrow$ 对任何 $eq?U%28x_0%2C%5Cdelta%20%29$ 内以 $eq?x_0$ 为极限的数列 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D%28x_n%5Cneq%20x_0%29$ ，极限 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Df%28x_n%29%3DA$ 存在

定理本身就是以上，讲人话就是把函数离散化，离散点的趋向和函数趋向相同，图解如下：

2.例题

例5.1：求 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%28cos%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%29%5E%7Bn%5E2%7D%7D$

思路：

这题其实很简单，但是我感觉这题是最能直观体现归结原则的作用的，想想还是给放上来。

先将它看成连续函数求极限，再由归结原则推到数列。

这题主要是将数列极限转为函数极限求解。

解：

$eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Csqrt%5Bx%5D%7B%28cos%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%29%5E%7Bx%5E2%7D%7D%3De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$

取数列 $eq?x_n%3Dn$ ，则 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n%3D%5Cinfty$ $eq?%5Ctherefore%20%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Df%28x_n%29%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%28cos%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%29%5E%7Bn%5E2%7D%7D%3De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$

（以上两段可简写成“由海涅定理”，这样写只是为了把海涅定理的意义描述得更清楚）

例5.2： $eq?f%28x%29%3Dx%5E2D%28x%29%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%5E2%2C%20%26%20x%5Cin%20Q%26%20%5C%5C%200%2C%26%20x%5Cin%20R-Q%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，是否连续

思路：

这个例子在上一篇的函数连续性提到过（见高数1，伍、一、④）

证明连续首先想连续定义：这一点的极限等于该点函数值。由于无理数列于有理数列函数表达不一样，所以得分别求两个数列的极限然后看是否相等。

这题主要是将函数极限转为数列极限求解。

解：

当 $eq?x_0%3D%200$ ， $eq?f%28x_0%29%3D0$

$eq?0%5Cleqslant%20%5Cleft%20%7C%20f%28x%29%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20%5Cleft%20%7Cx%5E2%20%5Cright%20%7C+%5Cleft%20%7C0%20%5Cright%20%7C%3Dx%5E2$ （分段函数绝对值小于等于每段函数绝对值的和）

由夹逼准则， $eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D%5Cleft%20%7C%20f%28x%29%20%5Cright%20%7C%3D0$ ，所以 $eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7Df%28x%29%3D0%3Df%28x_0%29$

（ $eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%20%7Df%28x%29%3D0%5CLeftrightarrow%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%20%7D%5Cleft%20%7Cf%28x%29%5Cright%20%7C%3D0$ ，见本篇二、③）

$eq?%5Ctherefore%20f%28x%29$ 在 $eq?x%3D0$ 连续

当 $eq?x_0%5Cneq%200$ ， $eq?f%28x_0%29%5Cneq%200$

取有理数列， $eq?%5Clim_%7Bx_n%5Crightarrow%20x_0%7Df%28x%29%3Dx_0%5E2%5Cneq%200$

取无理数列， $eq?%5Clim_%7Bx_n%5Crightarrow%20x_0%7Df%28x%29%3D%200$

由海涅定理，由于存在以 $eq?x_0$ 为极限的数列使得 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Df%28x_n%29$ 不相等，所以 $eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%7Df%28x%29$ 不存在

（这里就是海涅定理的逆否命题）

关于这题有几点补充：

①对一点连续不能推出邻域内连续结论的证明

这个函数只在 $eq?x%3D0$ 处连续，即 $eq?x%3D0$ 处连续不能推出在 $eq?x%3D0$ 的邻域内连续（高数1，伍、一、④结论）
②海涅定理跟本篇二、②的结论的差距

这里利用海涅定理的逆否命题，由两个数列极限不相等推出了函数极限的不存在，本质是将连续函数离散化；本篇二、②的结论，只能根据子列极限不存在得出原数列极限不存在，本质是从本就离散的点里再取无穷个离散的点

③本题即便有利数列和无理数列极限为同一个数a也不能推出函数极限为a

虽然有理数列和无理数列似乎已经满足海涅定理中“任何 $eq?U%28x_0%2C%5Cdelta%20%29$ 内以 $eq?x_0$ 为极限的数列”，但不同于本篇二、②的推论，海涅定理面对的对象是函数，推论面对的对象是数列，所以海涅定理一般不用于反推函数极限存在，只用于证明极限不存在，而推论却可以根据奇偶子列极限相等得出原数列极限

例5.3：当 $eq?x%5Crightarrow%200$ 时， $eq?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Dsin%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ 有界吗，是不是无穷大量或无穷小量？

思路：

很容易能看出在0处来回震荡，所以这题其实答案很明显，关键是证明过程个人感觉比较重要。

这题和上一题一样，是将函数极限转为数列极限求解。

解：

取 $eq?x_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Cpi%7D$ ， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n%3D0$ ， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Df%28x_n%29%3D0$

取 $eq?y_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%282n+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5Cpi%7D$ ， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dy_n%3D0$ ， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Df%28y_n%29%3D+%5Cinfty$

由海涅定理， $eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7Df%28x%29$ 不存在

六、夹逼准则

常用的放缩方法：

1.简单的放大缩小

（1）概念

① $eq?n%5Ccdot%20u_%7Bmin%7D%5Cleqslant%20u_1+u_2+...+u_n%5Cleqslant%20n%5Ccdot%20u_%7Bmax%7D$

这个放缩一般针对无限项的放缩

②当 $eq?u_i%5Cgeqslant%200$ 时， $eq?1%5Ccdot%20u_%7Bmax%7D%5Cleqslant%20u_1+u_2+...+u_n%5Cleqslant%20n%5Ccdot%20u_%7Bmax%7D$

和上一个比，这个左边变了，这个放缩一般针对有限项的放缩

（2）例题

例6.1.1：求极限 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En+a_2%5En+...+a_m%5En%7D$ ，其中 $eq?a_i%281%3D1%2C2%2C...%2Cm%29$ 都是非负数

思路：

只说 $eq?n%5Crightarrow%20%5Cinfty$ ，所以是有限项的放缩，使用公式②放缩根号里面，再一起开根。

解：

设 $eq?a%3Dmax%20%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C...%2Ca_m%5C%7D$

$eq?%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%5En%20%7D%5Cleqslant%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En+a_2%5En+...+a_m%5En%7D%5Cleqslant%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%5Ccdot%20a%5En%7D$

$eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7Bn%5Ccdot%20a%5En%7D%7D%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Da%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7Bn%7D%7D%3Da$

$eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%5En%20%7D%3Da$

由夹逼准则， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En+a_2%5En+...+a_m%5En%7D%3Dmax%20%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C...%2Ca_m%5C%7D$

$eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En+a_2%5En+...+a_m%5En%7D%3Dmax%20%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C...%2Ca_m%5C%7D$ 这也是一个很好用的结论

2.利用重要不等式

① $eq?%5Cleft%20%7C%20a%5Cpm%20b%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C+%5Cleft%20%7C%20b%20%5Cright%20%7C$

② $eq?%5Cleft%20%7C%20%5Cleft%20%7Ca%20%5Cright%20%7C-%20%5Cleft%20%7Cb%20%5Cright%20%7C%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20%5Cleft%20%7C%20a%20-%20b%20%5Cright%20%7C$

③ $eq?%5Csqrt%7Bab%7D%5Cleqslant%20%5Cfrac%7Ba+b%7D%7B2%7D%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E2+b%5E2%7D%7D%7B2%7D$

④ $eq?%5Cleft%20%7C%20ab%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20%5Cfrac%7Ba%5E2+b%5E2%7D%7B2%7D$

⑤ $eq?a%5Em%5Cgeqslant%20b%5Em%28m%3E0%29$ ， $eq?a%5Em%5Cleqslant%20b%5Em%28m%3C0%29$

⑥若 $eq?0%3Ca%3Cx%3Cb%2C0%3Cc%3Cy%3Cd$ ，则 $eq?%5Cfrac%7Bc%7D%7Bb%7D%3C%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%3C%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D$

⑦ $eq?sinx%3Cx%3Ctanx%280%3Cx%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29$

⑧当 $eq?0%3Cx%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D$ 时， $eq?x%3Ctanx%3C%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cpi%7Dx$

⑨当 $eq?0%3Cx%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D$ 时， $sin\ x>\frac{2}{\pi}x$

⑩ $eq?arctan%5C%20x%5Cleqslant%20x%5Cleqslant%20arcsin%5C%20x%280%5Cleqslant%20x%5Cleqslant%201%29$

⑪ $eq?e%5Ex%5Cgeqslant%20x+1$

⑫ $eq?x-1%5Cgeqslant%20ln%5C%20x%28x%3E0%29$

⑬ $eq?%5Cfrac%7B1%7D%7B1+x%7D%3Cln%281+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%29%3C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%28x%3E0%29$ 或 $eq?%5Cfrac%7Bx%7D%7B1+x%7D%3Cln%281+x%29%3Cx%28x%3E0%29$

3.其它

①闭区间上连续函数必有最大最小值

②题设条件推证

七、单调有界准则和压缩映射原理

形如 $eq?x_%7Bn+1%7D%3Df%28x_n%29$ 的数列都可以画如下的图：

$eq?f%27%28x%29%3E0$	$eq?x_2%3Ex_1$ ，数列递增
$eq?f%27%28x%29%3E0$	$eq?x_2%3Cx_1$ ，数列递减
$eq?f%27%28x%29%3C0$	数列不单调

很明显，这些数列都是收敛于 $eq?y%3Dx$ 与 $eq?y%3Df%28x%29$ 的交点。

虽然这不能直接用于大题的解答，但是可以用于选择题或大题的预判断。

1.单调有界准则

（1）概念

若数列 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 单调增加（减少）且有上界（下界），则 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n$ 存在

常用如下方法判断单调：

① $eq?x_%7Bn+1%7D-x_n%20%3E%28%3C%290$ 或 $eq?%5Cfrac%7Bx_%7Bn+1%7D%7D%7Bx_n%7D%3E%28%3C%291$ （同号）

②数学归纳法

③ $eq?x_n-x_%7Bn-1%7D$ 与 $eq?x_%7Bn-1%7D-x_%7Bn-2%7D$ 同号，则 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 单调

（2）例题

例7.1.1：设正项数列 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 满足 $eq?x_1%3D%5Csqrt%7B2%7D%2Cx_%7Bn+1%7D%5E2%3D2%5E%7Bx_n%7D%2Cx%3D1%2C2%2C...$ 。证明 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 收敛，并求 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n$

（这里就不分思路和解法啦）

首先这明显是 $eq?x_%7Bn+1%7D%3Df%28x_n%29$ 类型的数列，所以先要做一步变形， $eq?x_%7Bn+1%7D%5E2%3D2%5E%7Bx_n%7D%5CRightarrow%20x_%7Bn+1%7D%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7Bx_n%7D$

$eq?y%3D%5Csqrt%7B2%7D%5Ex$ 与 $eq?y%3Dx$ 交点明显是2和4，又因为 $eq?%5Csqrt%7B2%7D$ 小于2，所以可以从2的左边开始画折线

接着画图：

从图上可以看出， $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 是递增收敛的，且 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n%3D2$

以上都是草稿纸上的内容，知道结果剩下的问题就是证明

又递增又证明收敛，那一定是单调有界准则无疑了。所以第一步证明递增，第二步证明有界，第三步求极限。思路很明确。

前面有提到证明有单调的几个方法，我个人一般喜欢用数学归纳法，但是这题代入 $eq?x_1$ ， $eq?x_2%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D$ ，计算器应该能算，反正我不知道它是多少。数学归纳法pass。

另一个就是 $eq?x_%7Bn+1%7D-x_n%20%3E0$ ，当然大家愿意也可以试试除法的。第三种方法暂时没看见使用场景，反正这题不推荐，因为毕竟给了 $eq?x_n$ 和 $eq?x_%7Bn+1%7D$ ，减法除法能得表达式，肯定比第三个方便

$eq?x_%7Bn+1%7D-x_n%20%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7Bx_n%7D-x_n$ 不太能直接看出大于0，不妨设一个函数用导数算然后大于最小值。

$eq?F%28x%29%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7Bx%7D-x$ ， $eq?F%27%28x%29%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7Bx%7D%5Ccdot%20ln2%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-1$ 还是看不出来就继续求导

$eq?F%27%27%28x%29%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7Bx%7D%5Ccdot%20%28ln2%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E2%3E0$ 一阶导数单调递增。

做到这里发现x好像缺个范围，没范围算不出一阶导数大于或小于0，那就亡羊补牢一下。

从图上其实很明显，数列递增又收敛于2，所以范围应该是 $eq?%5B%5Csqrt%7B2%7D%2C2%29$ ，扩大一点不妨 $eq?%281%2C2%29$ ，毕竟1这个整数肯定会比 $eq?%5Csqrt%7B2%7D$ 用起来方便。接下来就是证明，可以用数学归纳法

$eq?x_1%5Cin%281%2C2%29$ ，则 $eq?x_2%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7Bx_1%7D%5Cin%20%281%2C2%29$

设 $eq?x_n%5Cin%281%2C2%29$ ，则 $eq?x_%7Bn+1%7D%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7Bx_n%7D%5Cin%20%281%2C2%29$

所以 $eq?x_n%5Cin%281%2C2%29$

虽然想先证单调性，但是阴差阳错先把有界性证完了

有了范围，接下来可以继续上面未完成的单调性判断了

由于一阶导单调递增，且 $eq?x%5Cin%281%2C2%29$ ，所以 $eq?F%27%28x%29%3CF%27%282%29%3Dln2-1%3C0$

所以 $eq?F%28x%29$ 单调递减， $eq?F%28x%29%3EF%282%29%3D0$

所以 $eq?x_%7Bn+1%7D-x_n%20%3D%5Csqrt%7B2%7D%5E%7Bx_n%7D-x_n%3E0$

得出数列单调递增

前面证过了有上界，这里又有递增，根据单调有界准则，数列收敛

接下来求极限

这里直接设极限为a就好

根据关系式 $eq?x_%7Bn+1%7D%5E2%3D2%5E%7Bx_n%7D$ ，两边同时取极限，则 $eq?a%5E2%3D2%5Ea$

前面都根据图预判出来了极限是2，这里就别算了嘛，直接写 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n%3D2$

（这题就结束啦，以上思路整理整理就是很完美的证明。老实说我还挺喜欢这样的证明的，思路从一开始清清楚楚，很干净的一道题）

2.压缩映射原理

（1）概念

这里的压缩映射原理是张老师给的简化版的，考试需要写证明过程

①对数列 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ ，若存在常数 $eq?k%280%3Ck%3C1%29$ ，使得 $eq?%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn+1%7D-a%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%5Cleft%20%7C%20x_n-a%20%5Cright%20%7C%2Cn%3D1%2C2%2C...$ ，则 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 收敛于a

证：

$eq?0%5Cleqslant%20%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn+1%7D-a%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%5Cleft%20%7C%20x_n-a%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%5E2%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn-1%7D-a%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%5En%5Cleft%20%7C%20x_1-a%20%5Cright%20%7C$

由夹逼准则， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn+1%7D-a%20%5Cright%20%7C%3D0%5CRightarrow%20%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_%7Bn+1%7D%3Da$

$eq?%5Ctherefore%20%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_%7Bn%7D%3Da$

②对数列 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ ，若 $eq?x_%7Bn+1%7D%3Df%28x_n%29%2Cn%3D1%2C2%2C...$ ， $eq?f%28x%29$ 可导，a是 $eq?f%28x%29$ 的唯一解，且 $eq?%5Cforall%20x%5Cin%20R$ ，有 $eq?%5Cleft%20%7C%20f%27%28x%29%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%3C1$ ，即 $eq?%5C%7Bx_n%5C%7D$ 收敛于a

证：

$eq?%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn+1%7D-a%20%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7C%20f%28x_n%29-f%28a%29%20%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7C%20f%27%28%5Cxi%20%29%28x_n-a%29%20%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7C%20f%27%28%5Cxi%20%29%20%5Cright%20%7C%5Cleft%20%7C%20x_n-a%20%5Cright%20%7C$

因为 $eq?%5Cleft%20%7C%20f%27%28x%29%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%3C1$

$eq?0%5Cleqslant%20%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn+1%7D-a%20%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7C%20f%27%28%5Cxi%20%29%20%5Cright%20%7C%5Cleft%20%7C%20x_n-a%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%20%5Cleft%20%7C%20x_n-a%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%5En%20%5Cleft%20%7C%20x_1-a%20%5Cright%20%7C$

由夹逼准则， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn+1%7D-a%20%5Cright%20%7C%3D0%5CRightarrow%20%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_%7Bn+1%7D%3Da$

$eq?%5Ctherefore%20%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_%7Bn%7D%3Da$

（2）例题

例7.2.1：（1）证明方程 $eq?x%3Dcos%5C%20x$ 在 $eq?%280%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%29$ 内存在唯一实根a

（2）设 $eq?-1%5Cleqslant%20x_1%5Cleqslant%201$ ，定义 $eq?x_%7Bn+1%7D%3Dcos%5C%20x_n%2Cn%3D1%2C2%2C...$ ，证明 $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_n$ 存在，且极限就是（1）中的a

看到 $eq?x_%7Bn+1%7D%3Df%28x_n%29$ 还是先画图：

不过这样有点特别，数列没有单调性，所以不能用和之前一样的单调有界准则来证，可以考虑压缩映射原理

先看第一问：

证明唯一实根直接构造函数 $eq?F%28x%29%3Dcos%5C%20x-x$ ，由于题目规定了范围，所以可以考虑根的存在定理先证存在再证唯一

$eq?F%280%29%3D1%3E0$ ， $eq?F%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%3C0$ ，所以存在根

唯一一般由单调性证明

$eq?F%27%28x%29%3D-sin%5C%20x-1%3C0$ 单调递减，所以存在唯一的根a

再看第二问：

既然确定了压缩映射原理，那就往压缩映射原理的条件上靠，一般用原理二。函数和唯一解已经有了，就剩 $eq?%5Cleft%20%7C%20f%27%28x%29%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20k%3C1$ 了

确认导数范围先确认自变量范围

$eq?x_2%3Dcos%5C%20x_1%5Cin%20%280%2C1%5D$ ， $eq?x_3%3Dcos%5C%20x_2%5Cin%20%280%2C1%5D$

设 $eq?x_n%5Cin%20%280%2C1%5D$ ，则 $eq?x_%7Bn+1%7D%3Dcos%5C%20x_n%5Cin%20%280%2C1%5D$

所以当 $eq?n%3E1$ 时， $eq?x_n%5Cin%20%280%2C1%5D$

设 $eq?f%28x%29%3Dcos%5C%20x$ ，则 $eq?%5Cleft%20%7Cf%27%28x%29%20%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7Csin%5C%20x%20%5Cright%20%7C$

由于 $eq?x%5Cin%20%280%2C1%5D$ ，所以 $eq?%5Cleft%20%7Cf%27%28x%29%20%5Cright%7C%20%3C1$

小于1有了，但是现在还缺一个小于等于k，不妨再把x的范围扩大一点，找到一个x使 $eq?%5Cleft%20%7Cf%27%28x%29%20%5Cright%7C$ 既能小于1，又能小于一个确定的数。不妨就找 $eq?%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D$ 。

$eq?x%5Cin%20%280%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%29$ ， $eq?%5Cleft%20%7Cf%27%28x%29%20%5Cright%7C%20%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%3C1$

$eq?0%5Cleqslant%20%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn+1%7D-a%20%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7C%20-sin%5C%20%5Cxi%20%29%5Cright%20%7C%5Cleft%20%7C%20x_n-a%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%29%20%5Cleft%20%7C%20x_n-a%20%5Cright%20%7C%5Cleqslant%20%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%29%5En%20%5Cleft%20%7C%20x_1-a%20%5Cright%20%7C$

根据夹逼准则， $eq?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn+1%7D-a%20%5Cright%20%7C%3D0%5CRightarrow%20%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_%7Bn+1%7D%3Da$

$eq?%5Ctherefore%20%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dx_%7Bn%7D%3Da$