【考研数学：高数5】一元函数微分学的应用（一）——几何应用

最新推荐文章于 2025-04-01 14:39:29 发布

是兰兰呀~

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前言

本文为张宇老师《基础三十讲》高数第五讲的自用笔记。不做商用，侵删致歉！

例题的序号，以1.2.1为例，意思是一里第2的第1个例题，总之从标题一（一、二、三酱紫的）往里数就是。

微分学应用分三章，本章是几何应用，目标是能够画出函数大致图像。重点记忆内容是十个常用平面图像

一、极值的定义

在 $x_0$ 的邻域内， $f(x)\leqslant (\geqslant )f(x_0)$ ，则 $x_0$ 为极小值点（极大值点）， $f(x_0)$ 为极小值（极大值）

①极值点不是“点”，是x轴坐标

②极值需要在左右邻域内比较，所以端点肯定不是极值点

③由于“是小于等于”、“大于等于”，所以常函数处处是极小值也处处是极大值

④间断点可以是极值点

二、单调性与极值的判别

1.概念

（1）单调性的判别

如果在 $(a,b)$ 内 $f(x)\leqslant(\geqslant ) 0$ ，且等号仅在有限个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调减少（增加）

①正例， $y=x^3$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上严格单调增加

$y'=3x^2\geqslant 0$ 仅在 $x=0$ 处等号成立

当 $x>0$ 时， $y>0$ ；当 $x<0$ 时， $y<0$ 。即，虽然在 $x=0$ 处导数为0，并不妨碍在这一点函数递增，也就说有限的点等号成立不妨碍函数趋势

②反例， $y=\left\{\begin{matrix} 1, &x\leqslant 1 \\ x,&x>1 \end{matrix}\right.$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上非严格单调增加

$y'=\left\{\begin{matrix} 0, &x\leqslant 1 \\ 1,&x>1 \end{matrix}\right.\Rightarrow y'\geqslant 0$ 等号在 $(-\infty ,1]$ 上成立，非有限个点

明显看出，在 $(-\infty ,1]$ 上，函数无单调性。即，无限个点等号成立可能会有常数函数情况，不能称“严格”单调

（2）极值点的必要条件

导数值	名称	图示
$f'(x_0)=0$	驻点
$f'(x_0)$ 不存在	不可导点

（3）极值点的充分条件

①第一充分条件

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的去心邻域内可导

$(x_0-\delta ,x_0)$	$(x_0,x_0+\delta )$	结果
$f'(x_0)<0$	$f'(x_0)>0$	极小值点
$f'(x_0)>0$	$f'(x_0)<0$	极大值点
$f'(x)$ 不变号		不是极值点

②第二充分条件

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导， $f'(x_0)=0$ ， $f''(x_0)\neq 0$

$f''(x_0)$	结果
$f''(x_0)>0$	极小值点
$f''(x_0)<0$	极大值点

③第三充分条件

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处n阶可导， $f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,...,n-1)$ ， $f^{(n)}(x_0)\neq 0(n\geqslant 2)$ ，n为偶数

$f^{(n)}(x_0)$	结果
$f^{(n)}(x_0)>0$	极小值点
$f^{(n)}(x_0)<0$	极大值点

2.例题

例2.1：设函数 $f(x)$ 二阶可导，且在 $x=x_0$ 处取极大值，则 $f''(x_0)$ 与0比较

思路：

这是一道看似（划重点）能用结论秒杀的题：二阶导大于0极小小于0极大。但是注意这个是极大值的充分条件，而这道题应该是问极大值关于二阶段的必要条件。要是感觉有点绕可以这样理解，二阶导小于0可以推出取极大值，但不代表取极大值一定二阶导小于0，比如下可以推出我出门带伞，但我出门带伞不意味着一定下雨（举个例子，不太严谨但协助理解，不要挑我这个例子的刺）

再往深一点思考，它只说了二阶可导，没说三阶四阶不可导啊，回想一下二、（3）③，即极值点的第三充分条件， $f(x)$ 要是四阶可导，那么它四阶导小于0，二阶导和三阶导等于0一样可以满足题目“极大值”的要求。当然这一段可能给人这题在玩文字游戏的感觉，就像营地补给问题一样，但实际上这同样是一个逻辑问题

总结一下，二阶导小于（大于）0是取极值的充分不必要条件

三、凹凸性与拐点的概念

1.凹凸性的定义

定义1 （要求区间内连续）	$f(\frac{x_1+x_2}{2})\ ?\ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$	$<$	凹
定义1 （要求区间内连续）	$f(\frac{x_1+x_2}{2})\ ?\ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$	$>$	凸
定义2 （要求区间内可导）	$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\ ?\ f(x)$	$<$	凹
定义2 （要求区间内可导）	$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\ ?\ f(x)$	$>$	凸

2.拐点的定义

拐点是凹凸弧分界点

①拐点是“点”

②拐点可以是尖点，拐点只需连续

四、凹凸性与拐点的判别

1.凹凸性的判别

$f''(x)$	凹凸性
$f''(x)>0$	凹
$f''(x)<0$	凸

2.拐点的必要条件

导数值	图示
$f''(x_0)=0$
$f''(x_0)$ 不存在

3.拐点的充分条件

①第一充分条件

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的去心邻域内二阶可导

$(x_0-\delta ,x_0)$	$(x_0,x_0+\delta )$	结果
$f''(x)$ 变号		是拐点
$f''(x)$ 不变号		不是拐点

②第二充分条件

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处三阶可导， $f''(x_0)=0$ ， $f'''(x_0)\neq 0$ 。是拐点

③第三充分条件

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处n阶可导， $f^{(m)}(x_0)=0(m=2,3,...,n-1)$ ， $f^{(n)}(x_0)\neq 0(n\geqslant 3)$ ，n为奇数。是拐点

五、极值点与拐点的重要结论

1.概念

①可导点不可同时为拐点和极值点

②不可导点可同时为拐点和极值点

③多项式 $f(x)=(x-a)^ng(x)(n>1)$ ， $g(a)\neq 0$ ，n为偶数，a是极值点；n为奇数， $(a,0)$ 是拐点

④多项式用“穿针引线法”算极值点和拐点个数：右上开始，奇穿偶不穿，每点凹凸根据幂次

2.例题

例5.1：设函数 $y=\left | xe^{-x} \right |$ ，则在 $x=0$ 处是否有极值或者拐点

思路：

极值和拐点的判别方法各说了一堆，关键是选哪个判别方法。由于判别方法大多需要求导，所以肯定是先求一个一二阶导，关于该函数一二阶导的求法【高数4】的例2.2.1里求过，直接使用结论不赘述。

由于已知在 $x=0$ 处函数不可导，加上初等函数在定义域内处处连续。所以可以直接考虑极值点、拐点的第一充分条件，即在邻域内一阶导变号是为极值点，二阶导变号是为拐点。

当然这题关于极值点的判别还有一个更简单的方法，首先明确一点，虽然常用三个充分条件，但是极值点还可以通过定义判别，即“在 $x_0$ 的邻域内， $f(x)\leqslant (\geqslant )f(x_0)$ ，则 $x_0$ 为极小值点（极大值点）， $f(x_0)$ 为极小值（极大值）”。在0处函数值为0，而在非0处函数值都大于0，所以处取极小值。

解：

$y'=\left\{\begin{matrix} e^{-x}(1-x), &x>0 \\ e^{-x}(x-1),&x<0 \end{matrix}\right.$

$y''=\left\{\begin{matrix} e^{-x}(x-2), &x>0 \\ e^{-x}(2-x),&x<0 \end{matrix}\right.$

在0处一、二阶导均变号，所以0为极值点， $(0,0)$ 为拐点

例5.2：曲线 $f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$ 的一个拐点是？

思路：

这题最简单的做法肯定是用本章五、③的结论，但我想用三种方法做一遍这题。一个是高数4例1.2.1的方法，同时借这个方法解释清楚结论③的由来；一个是结论④的穿针引线法，主要是讲清楚“穿针引线”的使用方法；最后一个是结论③，这个就是体现下记结论的好处，哈哈算是走个过场吧

有点麻烦，所以边解题边解释

解：

例1.2.1的方法：

（在高数4的例1.2.1中，我们将代入为0的部分与其它几项相互分开，所以这里也如法炮制。但是在1.2.1中，给了固定的自变量取值，这里并没有给，所以需要我们自己选取。直接观察可以发现当x取1,2,3,4时函数值为0，所以这几个值每个都分一遍）

$f(x)=f_1(x)=(x-1)\cdot g_1(x)$

$f(x)=f_2(x)=(x-2)^2\cdot g_2(x)$

$f(x)=f_3(x)=(x-3)^3\cdot g_3(x)$

$f(x)=f_4(x)=(x-4)^4\cdot g_4(x)$

（还是参照1.2.1的解法，对它们同时求一阶导）

$f'(x)=f_1'(x)=x\cdot g_1(x)+(x-1)\cdot g_1'(x)$

$f'(x)=f_2'(x)=2x(x-2)\cdot g_2(x)+(x-2)^2\cdot g_2'(x)$

$f'(x)=f_3'(x)=3x(x-3)^2\cdot g_3(x)+(x-3)^3\cdot g_3'(x)$

$f'(x)=f_4'(x)=4x(x-4)^3\cdot g_4(x)+(x-4)^4\cdot g_4'(x)$

（可以代入对应数值看看一阶导规律）

$f'(1)=f_1'(1)=x\cdot g_1(x)|_{x=1}$

$f'(2)=f_2'(2)=2x(x-2)\cdot g_2(x)|_{x=2}$

$f'(3)=f_3'(3)=3x(x-3)^2\cdot g_3(x)|_{x=3}$

$f'(4)=f_4'(4)=4x(x-4)^3\cdot g_4(x)|_{x=4}$

（为啥不带全嘞？我主要是想表现原式多项式的因子求一阶导它后半部分都是可以舍去的，这一点在1.2.1里也有体现，那题我们就是用它这个特点做的。）

（再求个二阶导看看情况，这次直接带数值）

$f''(1)=f_1''(1)=[g_1(x)+2x\cdot g_1'(x)]|_{x=1}$

$f''(2)=f_2'(2)=\{[2(x-2)+2x^2]\cdot g_2(x)\}|_{x=2}$

$f''(3)=f_2'(3)=\{[3(x-3)^2+3x\cdot 2(x-3)]\cdot g_3(x)\}|_{x=3}$

$f''(4)=f_2'(4)=\{[4(x-4)^4+4x\cdot 3(x-4)]\cdot g_4(x)\}|_{x=4}$

（是不是好像有点规律了？对于多项式的一重根，即本题的1， $f(1)=0$ ，但往后无论求几阶导都不会是0了；二重根，即本题的2， $f(2)=f'(2)=0$ 但是 $f''(2)$ 就不是0了；三重根，即本题的3， $f(3)=f'(3)=f''(3)=0$ ，没继续往下求，但不妨猜一猜，三阶导肯定不是0了；四重根，即本题的4，也不妨猜一猜结果，前三阶导和原式为0，四阶导不为0）

（上面的分析是不是有点眼熟，回到极值点和拐点的第三充分条件，n阶导不为0，前n-1阶都为0，n为偶数是极值点，n为奇数是拐点，这也就是本章五的结论③）

$\because f(3)=f'(3)=f''(3)=0\ \&\&\ f'''(3)\neq 0$

由拐点的第三充分条件， $(3,0)$ 是一个拐点

结论④的方法：

（根据“奇穿偶不穿”画出大致图像，奇次幂不穿，偶次幂穿，注意是次幂！）

（然后根据次幂来修改美点凹凸性，比如四次幂的弧是这种弧，就把四次幂那处修改成这样的弧线；三次幂的弧是这种弧，就把三次幂那处修改成这样的弧线；）

（最后用平滑曲线将它们连接）

很明显， $(3,0)$ 是一个拐点

（这个方法还可以直接数出拐点数为6，极值点数为5。这个方法最大的问题就是别数错了）

结论③的方法：

由结论③，大于1的奇次幂只有3一个 $(3,0)$ 是一个拐点

（歇一歇吧……一道题整的我心力交瘁……）

六、渐近线

把一个函数的趋势分作五种。

一种是特别想往无穷跑的，这种甚至都不搭理x轴的变化就自个儿飘了的，比如 $tan\ x$ 就是这样的，在 $x\rightarrow \frac{\pi}{2}$ 时都不需要x变化就自己飘外太空去了，这就是有铅直渐近线的；

一种虽然它也想往无穷去，但x轴手里的风筝线还是能稍微稍微牵制住它一下的，比如 $e^x$ 只有在 $x\rightarrow +\infty$ 它才趋向于无穷，至于为啥是“稍微牵制”，因为给一条线 $y=x$ ，然后会发现无论这条线怎么变化（平移或改变斜率）都无法赶上 $e^x$ 的速度，你可以理解为它是x的高阶无穷大，这种就是没渐近线的；