【考研数学：高数4】一元函数微分学的计算

是兰兰呀~

已于 2024-12-16 18:17:59 修改

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分类专栏：考研数学文章标签：考研

于 2024-12-06 11:58:09 首次发布

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前言

本文为张宇老师《基础三十讲》高数第四讲的自用笔记。不做商用，侵删致歉！

例题的序号，以1.2.1为例，意思是一里第2的第1个例题，总之从标题一（一、二、三酱紫的）往里数就是。

这一章讲微分计算，主要内容是各种求导计算。还是要背，比如基本求导公式、反函数求导公式、泰勒展开式还有莱布尼兹求导公式。难点和重点在高阶导数

一、基础求导方法

1.基本求导公式

昂，背就行了，这个背熟了后面的积分就容易背多了

2.四则运算

（1）概念

① $[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$

② $[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

③ $[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2},v(x)\neq 0$

（2）例题

例1.2.1：设 $f(x)= \prod_{n=1}^{100}(\tan \frac{\pi x^n}{4}-n)$ ，求 $f'(1)$

思路：

这个函数是由100项关于x的函数相乘得到的，要求它的一阶导数如果用四则运算法则算的话得展100项相加，显然是不现实的。这种题一般是把它变成两项来算

取出其中的一项 $\tan \frac{\pi x}{4}-1$ ，代入1发现这一项为0，所以可以把这一项和其余99项分开来，根据两项相乘的求导四则运算法则，就会发现其余项的导数都不需要算了

解：

令 $g(x)= \prod_{n=2}^{100}(\tan \frac{\pi x^n}{4}-n)$

则 $f(x)=(\tan \frac{\pi x}{4}-1)\cdot g(x)\Rightarrow f'(x)=\frac{\pi}{4}\sec^2\frac{\pi x}{4}\cdot g(x)+(\tan \frac{\pi x}{4}-1)\cdot g'(x)$

$f'(1)=\frac{\pi}{4}\sec^2\frac{\pi}{4}\cdot g(1)+0\cdot g'(1)=\frac{\pi}{2}\cdot g(1)$

$\because g(1)= \prod_{n=2}^{100}(1-n)=-99!$

$\therefore f'(1)=-\frac{\pi \cdot 99!}{2}$

二、其余求导方法

1.复合函数的导数

（1）概念

①链式求导规则

$\{f[g[x]]\}'=f'[g(x)]g'(x)$

②微分形式不变性

$d\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]d[g(x)]=f'[g(x)]g'(x)dx$ ，即无论u是中间变量还是自变量， $dy=f'(u)du$ 都成立

（2）例题

例2.1.1：设 $y=e^{\sin (\ln x)}$ ，求 $dy$ 及 $\frac{dy}{dx}$

思路：

没难点，就是想区分一下链式求导规则和微分形式不变

$dy$ 用微分形式的不变性， $\frac{dy}{dx}$ 用链式求导规则（考试无所谓，反正互通）

解：

$dy=d[e^{\sin(\ln x)}]=e^{\sin(\ln x)}d[\sin(\ln x)]=e^{\sin(\ln x)}\cos(\ln x)d(\ln x)=e^{\sin(\ln x)}\cos(\ln x)\frac{1}{x}dx$

（微分形式不变性）

$\frac{dy}{dx}=y'=e^{\sin(\ln x)}\cdot [\sin(\ln x)]'=e^{\sin(\ln x)}\cos(\ln x)\cdot (\ln x)'=e^{\sin(\ln x)}\cos(\ln x)\frac{1}{x}$

（链式求导规则）

2.分段函数的导数

（1）概念

①分段点用导数定义求导，左右导数不存在或不相等导数不存在

②非分段点用导数公式求导

（2）例题

例2.2.1：设函数 $y=\left | xe^{-x} \right |$ ，求 $y''$

思路：

这里讲的是分段函数，所以肯定是写成分段函数然后按概念里的步骤做

……咳，但我感觉也可以试试上一章（高数3）例1.6求 $f(0)$ 的做法

另外，为了巩固知识点，关于在0处是否可导，也可以使用在【高数3】例1.3里的结论“ $f(a)=0\Leftrightarrow F(x)=f(x)\left | x-a \right |$ 在 $x=a$ 可导”，进行佐证

解：

分段：

$y=\left | xe^{-x} \right |=\left\{\begin{matrix} xe^{-x}, &x\geqslant 0 \\ -xe^{-x},& x<0 \end{matrix}\right.$

$y_+'(0)=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{y(x)-y(0)}{x}=lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{xe^{-x}}{x}=1$

$y_-'(0)=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{y(x)-y(0)}{x}=lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{-xe^{-x}}{x}=-1$

$\because y'_+(0)\neq y'_-(0)$

在0处不可导

$y'=\left\{\begin{matrix} e^{-x}(1-x), &x> 0 \\ e^{-x}(x-1),& x<0 \end{matrix}\right.$

$y''=\left\{\begin{matrix} e^{-x}(x-2), &x> 0 \\ e^{-x}(2-x),& x<0 \end{matrix}\right.$

直接求：

$y=\left | xe^{-x} \right |=\sqrt{(xe^{-x})^2}$

$y'=\frac{xe^{-x}(e^{-x}-xe^{-x})}{\left | xe^{-x} \right |}=\frac{xe^{-x}(1-x)}{\left | x \right |}$ 显然在0处不可导

$y''=\frac{x^2e^{-x}-2xe^{-x}}{\left | x \right |}=\frac{xe^{-x}(x-2)}{\left | x \right |}$

（下面这个其实也很简单，就是比较考验计算能力哈哈哈）

1.3结论佐证：

$F(x)=\left | xe^{-x} \right |=\left | x-0 \right |\cdot \left | e^{-x} \right |$

令 $f(x)=\left | e^{-x} \right |$

若 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f(0)=0$

显然 $f(0)\neq 0$ ，故， $F(x)$ 在 $x=0$ 处不可导

3.反函数的导数

（1）概念

$y=f(x)$ 存在反函数 $x=\varphi (y)$ ，则 $\varphi '(y)=\frac{1}{f'(x)},\varphi ''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$

（2）例题

例2.3.1：已知 $(\sin x)'=cosx$ ，证 $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)$

解：

令 $y=\arcsin x$ 得反函数 $x=\sin y,y\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

$(\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

例2.3.2：当 $x>0$ 时，设 $y=f(x)=3x^2+e^x$ 有反函数 $x=\varphi (y)$ ，求 $\varphi ''(3+e)$

解：

$f'(x)=6x+e^x,f''(x)=6+e^x$

$\varphi ''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}=-\frac{6+e^x}{(6x+e^x)^3}$

$y=f(x)=3x^2+e^x$ 代入 $y=3+e\Rightarrow x=1$

$\varphi ''(3+e)=-\frac{6+e^x}{(6x+e^x)^3}|_{x=1}=-\frac{1}{(6+e)^3}$

4.隐函数求导法

正常求就好，但是注意要把y看作中间变量，比如 $(y^2)'=2y\cdot y'$ ，别只写个2y就好

5.参数方程所确定的函数的导数

对 $\left\{\begin{matrix} x=\varphi (t)\\ y=\psi (t) \end{matrix}\right.$ 求导， $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ ， $\frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt}$

6.对数求导法

（1）概念

两边取对数再求导 $\ln y=\ln f(x)\Rightarrow \frac{1}{y}y'=[\ln f(x)]'\Rightarrow y'=\frac{yf'(x)}{f(x)}$

适用于多项相乘、相除、开方、乘方

（2）例题

例2.6.1：设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(x)}=e^y\ln 2$ 确定，f具有一阶导，且 $f'(y)\neq 1$ ，求 $\frac{dy}{dx}$

思路：

多项相乘、乘方，所以用对数求导法两边取对数再求导

解：

$\ln x+f(x)=y+\ln( \ln 2)$

$\frac{1}{x}+f'(y)\cdot y'=y'\Rightarrow y'=\frac{1}{x[1-f'(y)]}$

7.幂指函数求导法

（1）概念

转化为指数函数再求导 $[u(x)^{v(x)}]'=[e^{v(x)\ln u(x)}]'=u(x)^{v(x)}[v'(x)\ln u(x)+v(x)\cdot \frac{u'(x)}{u(x)}]$

适用于开方、乘方（有一说一我感觉这方法挺鸡肋……因为可以对数求导法替代）

（2）例题

例2.7.1：求函数 $y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$ 的导数

思路：

乘方，用幂指函数求导法，转化为指数函数

解：

$y=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln x}$

$y'=(e^{\frac{1}{x}\ln x})'=e^{\frac{1}{x}\ln x}(-\frac{1}{x^2}\ln x+\frac{1}{x^2})=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln x)$

三、高阶导数

1.归纳法

（1）概念

就是总结规律，emmm重点是记住下图

（2）例题

例3.1.1：设 $y=\frac{1-x}{1+x}$ ，求 $y^{(n)}(0)$

思路：

这题其实三个方法都可以做（后面会讲），但比较适合归纳法罢了

归纳法直接带公式，但是由于比公式背的多了一个 $1-x$ ，所以做一个变形，把 $1-x$ 去掉就可以了

解：

$y=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-1-x+2}{1+x}=-2+\frac{2}{1+x}$

$y^{(n)}(x)=0+2(-1)^nn!(1+x)^{-(n+1)}$ （常数求导是0，其余的直接带公式）

$y^{(n)}(x)=(-1)^n2\cdot n!$

例3.1.2：已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f'(x)=[f(x)]^2$ ，其中n为正整数，求 $f^{(n)}(x)$

思路：

这个就不是背公式那么简单了，得学会归纳法的思想——总结规律，一阶导是 $[f(x)]^2$ ，那么再求一阶，二阶导就是 $2\cdot f(x)\cdot f'(x)=2\cdot [f(x)]^3$ ，继续求又多一个3……以此类推

解：

$f'(x)=[f(x)]^2$

$f''(x)=2\cdot f(x)\cdot f'(x)=2\cdot [f(x)]^3$

$f'''(x)=6\cdot [f(x)]^2\cdot f'(x)=6\cdot [f(x)]^4$

设n=k时有 $f^{(k)}(x)=k![f(x)]^{k+1}$ ，则 $f^{k+1}(x)=(k+1)\cdot k![f(x)]^k\cdot f'(x)=(k+1)! [f(x)]^{k+2}$

所以对正整数n，有 $f^{(n)}(0)=n![f(x)]^{n+1}$

2.莱布尼茨公式

（1）概念

① $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

② $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$

（2）例题

例3.2.1：设 $y=\frac{1-x}{1+x}$ ，求 $y^{(n)}(0)$

思路：

再拿莱布尼茨公式试试这题

莱布尼茨公式可以直接做，但是莱布尼茨公式学的是加减乘，所以这题要把除看作一个式子乘一个分式

这题只用莱布尼茨公式做不出来，因为还得求 $\frac{1}{1+x}$ 的n阶导，莱布尼茨公式求不了。莱布尼茨公式只能用于n阶导很简单的公式

解：

$y'=C_{n}^{0}(1-x)(\frac{1}{1+x})^{(n)}+C_{n}^{1}(-1)(\frac{1}{1+x})^{(n-1)}$

（不需要继续写因为再往后是对-1求导，导数为0，即后面式子都是0）

$y^{(n)}=(1-x)(-1)^n\cdot n!+n\cdot (-1)\cdot (-1)^{n-1}(n-1)!$

（这里 $\frac{1}{1+x}$ 的n阶导可以用归纳法里带公式的方法求，也可以用下面要说的泰勒展开式法求，总之这个地方需要用上其它两种方法做，所以这题不推荐莱布尼茨公式法）

$y^{(n)}(0)=(-1)^n2\cdot n!$

3.泰勒展开式

（1）概念

背熟下面这张表：

泰勒展开式法步骤：

①抽象展开 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

②通过上面那张表具体展开

③比较抽象展开和具体展开

（2）例题

例3.3.1：设 $y=\frac{1-x}{1+x}$ ，求 $y^{(n)}(0)$

思路：

用泰勒展开式做这题同样需要跟归纳法一样做一次恒等变形，目的同样是去掉 $1-x$

而且注意，由于加减常数不好代入背的公式中，所以可以根据常数求导的特性把常数去掉

不同于归纳法，泰勒展开式可以有x的几次方乘一个我们背过的公式的形式（下一题再说），而归纳法只能有常数乘我们背过的公式的形式

解：

$y=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-1-x+2}{1+x}=-2+\frac{2}{1+x}$

设 $f(x)=\frac{2}{1+x}$ ，则 $y^{(n)}(0)=f^{(n)}(0)$

（带上加减常数不好算，所以把它去掉）

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n2\cdot x^n=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

则 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=2\cdot (-1)^n\Rightarrow f^{(n)}(0)= (-1)^n2\cdot n!$

例3.3.2：设 $f(x)=x^2\ln(1-x)$ ，则当 $n\geqslant 3$ 时，求 $f^{(n)}(0)$

思路：

这题比较简单，莱布尼茨公式和泰勒展开式都能做，莱布尼茨公式做法不赘述，泰勒展开式直接带公式就OK

但是这题归纳法就不太行，因为我们虽然能写出 $\ln(1-x)$ 的n阶导，但是确不能把 $x^2$ 放进去。泰勒公式可以做，因为可以直接在展开式x的系数上加上2。但是同样的，我们不能把加减放入展开式，所以遇见加减常数需要像上一题一样做变形，至于加减x的关系式，那就只能用莱布尼茨公式①先把它们分开，分开以后再决定用这三个方法中的哪个方法

解：

$f(x)=\sum_{m=1}^{\infty }(-1)^{m-1}\cdot \frac{(-1)^mx^{m+2}}{m}=\sum_{m=0}^{\infty }(-1)\cdot \frac{x^{m+3}}{m+1}$

又 $\because f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

$\therefore m+3=n$ （比较x的系数）

则 $-\frac{1}{m+1}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\Rightarrow f^{(n)}(0)=-\frac{n!}{n-2}$