《滑膜变结构控制MATLAB仿真基本理论与设计方法》读书笔记——第一、二章

chap1_1 绪论

plant.m是被控对象的设置，应当先从plant看起。

要求电机转动一度时系统的响应，data分别为理想转角、实际转角以及角速度

k=10

k=0

$$\begin{gathered} k是控制律中的s的系数，代表的是李雅普诺夫能量导数\dot{V}\le -k{s}^2，即要求能量 \\ 下降速度要足够大。 \end{gathered}$$

尝试跟随一个正弦信号sin(t/2)，得到上的结果，可以看到有一定跟随时间，而且加速度（data(3)）存在明显不平滑的现象，应该就是书中说的滑膜控制在滑模面附近的振动问题。

噢当我没说，我加了个d(t)=sint的干扰信号…把干扰信号去掉之后就好多了。

控制律引入符号函数的原因：保证对应李雅普诺夫函数中$\dot{V}$始终存在一项$s\ast sgn(s)=-\eta |s|\le 0$

---

chap2_1

不太理解那个Hurwitz条件…

%%  控制对象初始化函数
function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes     %   初始化
sizes = simsizes;                               %   建立一个类
sizes.NumContStates  = 2;                       %   模型有两个连续状态量dot{θ}和ddot{θ}
sizes.NumDiscStates  = 0;                       %   没有离散量
sizes.NumOutputs     = 2;                       %   两个输出θ和dot{θ}
sizes.NumInputs      = 1;                       %   一个输入u
sizes.DirFeedthrough = 0;                       %   输入信号没有直接在输出端出现
sizes.NumSampleTimes = 1;                       %   =1时需要设置采样时间和偏移量ts
sys = simsizes(sizes);                          %   =0就写ts = [ ] 就行
x0  = [0,0];                                    %   系统初始状态
str = [];
ts  = [0 0];                                    %   采样时间

chap2_2 基于趋近率的滑模控制

使用指数趋近律$\dot{s}=-\epsilon sgns-ks$，其中-ks为指数趋近项，调整不同的k值可以得到不同的趋近速率。

以上是系统的相轨迹图，可以看到增大K能明显加快e的衰减速率，代价是鲁棒性变差，当e大于一定值后de>0，系统发散。

chap2_3 基于趋近率的鲁棒滑模控制

和上一个相比考虑多了个干扰d，被控对象变为

$$\begin{gathered} \ddot{\theta (t)}=-f(\theta ,t)+bu(t)+d(t) \\ f(\theta ,t)=25\dot{\theta }. \end{gathered}$$ 个人理解为阻尼量，干扰量$d(t)$无法确定，用干扰的上下界来设计控制律。(其实还是在控电机）

控制量u随时间的变化，可以看到存在明显不连续性，因为用了符号函数sgn，在s符号改变时干扰界的选择也发生了改变，不过对于电机而言力是可以瞬间改变的，不平滑好像也没什么问题。

注意到一个问题，系统的相轨迹图中显示，在误差e很小的时候会出现部分de＞0的区域，说明实际上系统存在一个收敛的最小误差值，或许会影响精度。造成的原因应该就是上面提到的干扰的上下界的问题。

尝试将干扰量调到很大，可以明显看到系统的精度明显下降，同时速度的跟随也出现了很多毛刺，说明干扰量对系统的影响。

chap2_4 基于上界的滑模控制

系统改为非线性系统（倒立摆），将符号函数sgn(s)替换为饱和函数sat(s)，书中提到的M指的是控制其的标识符，M=1代表用符号函数控制，M=2用饱和函数，其中sat(s)满足

$$sat(s)=\{\begin{array}{c}1,s>\Delta \\ ks,|s|\le \Delta \\ -1,s<\Delta \end{array}$$

符号函数控制下的输入

饱和函数控制下的输入

可以看到对比还是很明显的，饱和函数的加入明显减少了抖振的问题。

加入干扰项dt=0.2*sin(t)后的系统响应以及控制量的变化，效果还行，就是系统存在周期性变化的误差…

把干扰量加到一定值后系统就控制不住了，再往后加就发散了。

chap2_5 基于准滑动模态的滑模控制

准滑动模态：系统的运动轨迹被限制在理想滑动模态的某一Δ邻域内的模态，称Δ邻域为滑动模态切换面的边界层。在边界层内（即s∈Δ时）不要求满足滑动模态的存在条件。

实际上就是用饱和函数替代了符号函数，在边界层外采用的是切换控制（1或-1），在边界层内采用线性化反馈控制。

其实跟上一节差不多，程序就不看了。

tanh_test

• 控制律引入符号函数的原因：保证对应李雅普诺夫函数中$\dot{V}$始终存在一项$s\ast sgn(s)=-\eta |s|\le 0$
• 改为饱和函数的原因：可以有效克服滑膜抖
• 改为双曲正弦函数的原因：连续光滑，可以求导

尝试了一下双曲正切函数

$$tanh(\frac{x}{\epsilon })=\frac{e^{\frac{x}{\epsilon }}-e^{-\frac{x}{\epsilon }}}{e^{\frac{x}{\epsilon }}+e^{-\frac{x}{\epsilon }}}$$

调整ε的值可以得到不同的函数

ε=0.5

ε=10

chap2_6 基于双曲正切函数的滑模控制

双曲正切函数的两个引理还蛮重要的，在证明李雅普诺夫能量收敛中有用，就记一下

1. 任意给定的x，存在ε>0，存在不等式

   $$xtanh(\frac{x}{\epsilon })=|xtanh(\frac{x}{\epsilon })|=|x||tanh(\frac{x}{\epsilon })|\ge 0$$

2. 取ε>0，对于任意χ∈R，存在常数ε>0，如下不等式成立

$$0\le |\chi |-\chi tanh(\frac{\chi }{\epsilon })\le \mu \epsilon ,\mu =0.2785$$

chap2_7 等效滑膜控制

在这里贴一个知乎回答，解释为什么叫等效滑模控制

设计针对以下系统

$$\dot{s}=f(s,t)+u(s)$$

在设计控制器时，先令$\dot{s}=0$，得到等效控制器$u_{eq}$，再将$u=u_{eq}+u_{sw}$带入，使$s\dot{s}\le -\eta |s|$成立，可以得到切换鲁棒项$u_{sw}$

chap2_8 滑模控制的数字化仿真

没什么特别的，无非是用了差分法用ode45求解了方程，其他大同小异。