3. 控制系统的非线性问题

3. 控制系统的非线性问题

3.1 概述

3.1.1 典型的非线性系统

3.1.2 分析非线性系统的方法

​ 叠加原理仅适用线性系统，不适用于非线性系统。一般有以下方式对非线性系统进行分析。

1. 线性化近似
2. 逐段线性近似
3. 描述函数法
4. 相平面法
5. 李雅普诺夫方法
6. 微分几何和微分代数方法
7. 计算机仿真

3.2 描述函数法

3.2.1 定义

​ 对于非线性系统，输入信号为正弦信号时，输出信号稳定后往往是与输入相同频率的周期非正弦信号。可以将输出信号分解为一系列正弦波的叠加，其基波频率与输入正弦频率相同。描述函数N和输入信号X、输出信号Y满足$Y=NX$，即
$$N=\frac{Y_1}{X}\angle {\Phi }_1$$
​ 其中$Y_1$为输出信号傅里叶级数的幅值，$X$为输入信号幅值，${\Phi }_1$为输出信号傅里叶级数相对于输入的相位移。

3.2.2 利用描述函数法分析非线性系统的稳定性

可以将非线性系统分解为如下形式

其中$N$为描述函数，$G(s)$为系统线性部分，则系统传递函数为
$$\frac{X_o(jw)}{X_i(jw)}=\frac{NG(jw)}{1+NG(jw)}$$
特征方程为$1+NG(jw)=0$。

类比线性系统的奈奎斯特稳定性判据，系统开环传递函数中线性部分$G(s)$与实轴交点应处于$-\frac{1}{N}$右侧，则整体开环传递函数$NG(s)$能大于-1，即乃氏图不包含$(-\frac{1}{N},0j)$点，否则系统不稳定，幅值会逐渐增加。¹

介绍极限环概念，假设非线性部分$N$对应的$-\frac{1}{N}$乃氏图如上，绘制$G(jw)$的乃氏图与前者交于$A$、$B$两点，假设系统工作在$A$点，若受到增大幅值的扰动，系统移至$C$点，则由于$G(jw)$包含了该点，系统不稳定，会逐渐增大幅值至发散，即向$F$、$B$点移动，当超过$B$点后$G(jw)$又不包含工作点，系统稳定，幅值逐渐减小至$B$点，最终收敛在$B$点。根据上面的分析，我们称$A$点位不稳定的极限环，$B$点为稳定的极限环。

补充：极限环的定义²

• 极限环是指相平面上孤立的闭曲线，表明运动的周期性。

• 极限环表示自然界里一些有运动周期的系统，即便受到干扰，也会逐渐回到原先的周期状态。比如，呼吸的频率，即使在某一时间可以控制改变呼吸的频率，但当不去控制的时候，就会自然变回原来的频率。人血液中各种荷尔蒙和二氧化碳的水平，让会使人的呼吸回到自然状态。（配图为稳定极限环）

  

描述函数法分析系统稳定性的步骤：

3.3 相轨迹法

3.3.1 定义

一般的二阶非线性系统，状态方程为
$$\ddot{x}+f(x,\dot{x})=0$$
有
$$\ddot{x}=\frac{d\dot{x}}{dt}=\frac{d\dot{x}}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{d\dot{x}}{dx}\dot{x}$$
可以得到
$$\begin{gathered} \frac{d\dot{x}}{dx}\dot{x}+f(x,\dot{x})=0 \\ \frac{d\dot{x}}{dx}=g(x,\dot{x}） \end{gathered}$$
取$x_1=x,x_2=\dot{x}$可以得到
$$x_2=\phi (x_1)$$
由此可以在x1-x2平面绘制对应的曲线。

3.3.2 等倾线和奇点

由$\frac{d\dot{x}}{dx}=g(x,\dot{x})$可知，存在一个曲线$g(x,\dot{x})$对应相轨迹上的不同斜率，每根曲线上的每一点又是不同时刻根轨迹上斜率相同的点，这簇曲线即为等倾线，从过初始点的短倾线开始依次连接临近的短倾线，即可组成相轨迹图。

若$g(x,\dot{x})$分子分母项同时为零时，相轨迹的斜率从数学角度上说不存在，称为“奇点”.¹

3.4 李雅普诺夫稳定性方法

3.4.1 概念

结合自己的理解李雅普洛夫稳定性研究的问题为：李雅普诺夫稳定性理论研究的是在扰动下平衡点的稳定性问题。简单来说，如果平衡状态受到扰动后，仍 然停留在附近，我们就称在李雅普诺夫意义下是稳定的（Lyapunov stable）。如果更进一步，如果平衡状态受到扰动后，最终都会收敛。我们称在李雅普诺夫意义下是渐进稳定的（Asymptotically stable）。再进一步，如果平衡状态受到 任何扰动后，最终都会收敛到，我们就称在李雅普诺夫意义下是大范围内渐进稳定的（Asymptotically stable in large）。相反，如果平衡状态受到某种扰动后，状态开始偏离，我们就称在李雅普诺夫意义下是不稳定的（Unstable）。

李雅普诺夫第一方法：间接法，通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性

李雅普诺夫第二方法：直接法，不求解系统状态方程，而是从广义能量的观点进行稳定性分析。[^3]

一般选择$V(x)=x^{T}Px$，正定的充要条件为$P$的所有主子式为正。

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1. Chenglin Li.非线性系统（一）极限环[EB/OL].(2020-07-23).https://zhuanlan.zhihu.com/p/121678858. ↩︎ ↩︎

2. 刘豹、唐万生. 现代控制理论[M]. 第3版. 机械工业出版社, 2006.7. ↩︎