4. LQR最小二次型 5. 专家PID

4. LQR最小二次型

4.1 定义

泛函：表达式对函数的约束，例如$F(x)+G(y)=1$即表示一类能满足该表达式的函数，好似函数表达式之于数

明确概念：LQR最小二次型是帮助我们配置反馈矩阵$K$，使闭环系统的极点达到满意的状态，最后使系统满足要求的方法

全状态反馈控制图如下，有
$$u=-Kx$$
使得闭环系统能满足期望性能，则系统状态方程为
$$\dot{x}=（A-BK)x=A_{c}x$$

对于线性时变系统的状态空间的描述为
$$\begin{gathered} \dot{x(t)}=Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)=Cx(t) \\ x(t_0)=x_0 \end{gathered}$$
式中$x、u、y$分别为矢量，$A$为状态矩阵，$B$为控制矩阵，$C$为输出矩阵，定义其性能泛函（不考虑终端）为
$$J=\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t_f}{x}^{T}Qx+u^{T}Rudt$$
式中$x$是被控对象，$u$是控制量，$Q$是自己设计的半正定矩阵（即$x$的权重），R是正定矩阵（$u$的权重）。

Q：性能指标函数对于状态量的权阵，为对角阵，元素越大，意味着该变量在性能函数中越重要。要求性能函数求最小，也就是说该状态的约束要求高。

R：控制量的权重，对角阵，同样，对应的元素越大，这意味着，控制约束越大。

---

假设$x$是一维的，那$x^{T}Qx=Q{x}^2$，$u^{T}Ru$同理，我们要求系统稳定，即状态向量$x$和$y$尽可能小，$u$作为控制量，较小的值意味着用小的控制代价得到了最优的控制。故系统参数设定的目标是使能量函数$J$尽可能小。[^3]

代入$u=-Kx$
$$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{x}^T(Q+K^{T}RK)xdt$$
为了找到K,我们先不防假设存在一个常量矩阵P使得：

代入得：

注意，我们已经假设闭环系统是稳定的，也就是t趋于无穷时，x(t)趋于0.

现在把左边的微分展开，并把状态变量x的微分用$\dot{x}=（A-BK)x=A_{c}x$替代得到：

这个式子要始终成立的话，括号里的项必须恒等于0.

这是一个关于K的二次型等式，当然这个二次型是我们不愿看到的，因为计算复杂。现在只要这个等式成立，我们何必不选择K使得两个二次项正好约掉了呢？这样既符合了要求，又简化了计算。

取代入上式得：

其中$A$为状态矩阵，$B$为控制矩阵（u的增益），$Q、R$分别是两个权重，$P$是我们假设的一个量，P只要使得的上式成立就行了，上式在现代控制理论中极其重要，它就是有名的Riccati 方程。¹

现在回过头总结下LQR控制器是怎么计算反馈矩阵K的：

1.选择参数矩阵Q,R

2.求解Riccati 方程得到矩阵P

3.计算

结构图如下

5. 专家PID

专家PID说白了就是利用专家系统，在控制过程中调用事先整理好的由专家累积下来的工作经验，对系统进行分段式控制。控制系统的好坏主要取决于专家的经验。

5.1 前导知识

1. 离散系统

   实际工程上我们采样得到的信号往往不是连续信号，而是通过计算机将若干离散信号转化而成的信号。计算机控制系统控制的是数字信号，即离散系统。类比连续系统中的微分方程，在离散系统中我们得到的是差分方程，线性常系数差分方程表达式如下
   $$y(kT)+...+a_{n}y(kT-nT)=b_{0}u(kT)+...+b_{m}u(kT-mT)$$
   其中$T$为采样频率，$k$为对应的第$k$个采样点，$y(kT)$即第$k$个采样点的输出值，$u(kT)$即第$k$个采样点的输入值。

   上式的含义可以理解为：第$k$个采样点的输出值$y(kT)$由该点往前的第$k-1$到第$k-n$个采样点的输出值决定，同时还由该点的输入值$u(kT)$以及从该点往前的第$k-1$到第$k-m$个采样点的输出值决定。通过上式，计算机系统可以用迭代的方式求解下一采样点的输出值。[^1]

2. Z变换

   类比连续系统中的S变换（拉普拉斯变换）求解微分方程，离散系统中同样存在类似的Z变换，可以通过Z变换求解差分方程。

   其变换方式暂且不谈，我们只需要通过一个例子了解Z变换

   有差分方程
   $$y(kT+2T)+4y(kT+T)+3y(kT)=u(kT)$$
   两端求Z变换，得到
   $$z^{2}Y(z)-z^{2}y(0)-zy(T)+4zY(T)-4zy(0)+3Y(z)=U(z)$$
   在零初始条件时，可以得到系统的脉冲传递函数
   $$G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{1}{z^2+4z-3}$$
   同样的，当我们得知线性离散系统的脉冲函数时，我们就能反过来得到系统的差分方程。例如
   $$G(z)=\frac{z^2+3z+1}{z^3+2z^2+5z+2}=\frac{z^{-1}+3z^{-2+z^{-3}}}{1+2z^{-1}+5z^{-2}+2z^{-3}}=\frac{Y(z)}{U(z)}$$
   可得
   $$Y(z)(1+2z^{-1}+5z^{-2}+2z^{-3})=U(z)(z^{-1}+3z^{-2}+z^{-3})$$

   Z反变换可得
   $$y(kT)+2y(kT-T)+5y(kT-2T)+2y(kT-3T)=u(kT-T)+3u(kT-3T)$$

5.2 专家PID原理

专家PID其实就是专家经验和PID控制算法的结合，利用专家经验设计PID参数。²³我们将系统离散化，假设第k个采样点的偏差为$e(k)$，前一个采样点偏差为$e(k-1)$，两次偏差的增量为
$$\begin{gathered} \Delta e(k)=e(k)-e(k-1) \\ \Delta e(k-1)=e(k-1)-e(k-2) \end{gathered}$$
设定偏差的判断标准为$M_{max}$和$M_{mid}$分为以下几种情况：

1. $|e(k)|>M_{max}$

   偏差值很大，我们应该让控制器的输入最大/最小，让偏差绝对值以最快的速度减小，令$u=常数$

2. $e(k)\ast \Delta e(k)>0$或者$\Delta e(k)=0$

   这种情况说明偏差在朝向偏差绝对值增大的方向变化，或者偏差为某一固定值，此时我们再判断偏差的绝对值与偏差的中间值$M_{mid}$之间的关系。

   1. 此时如果$|e(k)|>M_{mid}$

      说明偏差也较大，可考虑由控制器实施较强的控制作用，以达到扭转偏差绝对值向减小的方向变化，并迅速减小偏差的绝对值。

      

   2. 此时如果$|e(k)|<M_{mid}$

      说明尽管偏差是向绝对值增大的方向变化，但是偏差绝对值本身并不是很大，可以考虑控制器实施一般的控制作用，只需要扭转偏差的变化趋势，使其向偏差绝对值减小的方向变化即可。

      

3. $e(k)\ast \Delta e(k)<0$且$\Delta e(k)\ast \Delta e(k-1)>0$或者$\Delta e(k)=0$

   说明偏差的绝对值向减小的方向变化，或者已经达到平衡状态，此时保持控制器输出不变即可。

   

4. $e(k)\ast \Delta e(k)<0$且$\Delta e(k)\ast \Delta e(k-1)<0$

   说明偏差处于极限状态。

   1. 如果此时偏差的绝对值较大，$|e(k)|>M_{mid}$

      可以考虑实施较强控制作用。

      

   2. 如果此时偏差的绝对值较小，$|e(k)|<M_{mid}$

      可以考虑实施较弱控制作用。

      

   其中，k1为增益放大系数，k1取大于1的值；k2为增益抑制系数，取大于0而小于1的值。

5. 如果$|e(k)|<M_{min}$

   这种情况实际上说明偏差绝对值很小，这种偏差有可能是系统静差引起的，此时必须要引入积分作用，减小系统的稳态误差。

   

---

1. 碎步の流年.LQR控制算法推导以及简单分析[EB/OL].(2020-03-09).https://blog.youkuaiyun.com/qq_24649627/article/details/104690279. ↩︎

2. 刘金琨. 先进PID控制MATLAB仿真[M]. 第2版. 电子工业出版社, 2004.9. ↩︎

3. 硬核暴龙.（三）专家PID控制理论基础EB/OL.(2020-02-16).https://zhuanlan.zhihu.com/p/107021715. ↩︎