群同态与群同构-抽象代数【密码学数学基础】

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#抽象代数 #密码学

群同态是保持群乘法结构的映射，允许我们分析不同群的性质。群同构是通过双射映射使两个群的运算规则相同的理论，常用于简化复杂问题。在密码学中，这些概念可能用于构造安全的算法。自同构是群到自身的同构，其所有元素构成的集合形成自同构群。单射、满射和双射是映射的特殊类型，双射确保了一一对应的关系。

群同态（group homomorphism）

        群同态是群论中两个群之间保持群乘法结构的一种映射。

定义：设群(G,∗)和群(G′,⊗)，如果函数 f : G→G′ 对于∀a,b∈G，都有：f(a∗b)=f(a)⊗f(b)那么f就是(G,∗)到(G′,⊗)的群同态

例如：群G=(\mathbb{R},+)和群G(\mathbb{R}^+,\times)是同态的。

        同态并没有要求f是一个双射，是一个单射或者满射，单射时称为单同态，满射时称为满同态。利用群同态这种映射，我们可以用一个群来分析另一个群。

        

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