群的同态与同构

群的同态与同构

一、群同态（Group Homomorphism）

1. 群同态的定义：

   • 群同态是群之间的一种映射，保持群运算的结构。设 $G$ 和 $H$ 是两个群，如果存在映射 $\varphi :G\to H$，使得对于所有 $a,b\in G$，有：
     $$\varphi (a\ast b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)$$
     那么 $\varphi$ 就是一个群同态映射。

2. 群同态的性质：

   • 如果 $\varphi :G\to H$ 是群同态，那么：
     • $\varphi (e_G)=e_H$，即单位元素映射到单位元素。
     • 核（Kernel）：群同态的核是映射 $\varphi$ 将 $G$ 中哪些元素映射到 $H$ 的单位元素。形式化地，核是：
       ker⁡(ϕ)={g∈G∣ϕ(g)=eH} \ker(\phi) = \{g \in G \mid \phi(g) = e_H\} ker(ϕ)={g∈G∣ϕ(g)=eH​}
     • 像（Image）：群同态的像是 $\varphi (G)$ 在 $H$ 中的子集，即：
       Im(ϕ)={ϕ(g)∣g∈G} \text{Im}(\phi) = \{ \phi(g) \mid g \in G \} Im(ϕ)={ϕ(g)∣g∈G}

3. 实例：

   • 整数加法群到模 6 加法群的同态：设 $\varphi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 为同态映射，定义为：
     $$\varphi (x)=x\mathrm{mod}6$$
     映射将整数加法群 $\mathbb{Z}$ 映射到模 6 加法群 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。

   • 计算核与像：

     • 核：找出所有映射到 $0\mathrm{mod}6$ 的整数，即 $\ker (\varphi )=6\mathbb{Z}$。
     • 像：像是模 6 的所有元素，即 $\text{Im}(\varphi )=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。

二、群的同构（Group Isomorphism）

1. 群同构的定义：

   • 群同构是群之间的一种强同态关系。设 $G$ 和 $H$ 是两个群，若存在一个双射 $\varphi :G\to H$，使得对于所有 $a,b\in G$，有：
     $$\varphi (a\ast b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)$$
     则称 $\varphi$ 是一个群同构映射，且 $G$ 与 $H$ 是同构群。

2. 群同构的判定标准：

   • 如果两个群是同构群，它们有相同的结构，尤其是元素的阶和群的运算方式是等价的。
   • 同构群的判断标准：
     • 如果两个群的阶不同，则它们不可能同构。
     • 对于有限群，若它们的元素阶相同，且运算结构相似，则可以推测它们同构。

3. 实例：

   • 整数加法群与模 $n$ 群的同构：对于群 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，我们知道它们在某些条件下是同构的。
     • 例如，群 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 和 ${\mathbb{Z}}_6$ 是同构群。

三、课堂活动

1. 通过例题讨论群同态与同构的应用

活动内容：

• 例题 1： 考虑群 $G={\mathbb{Z}}_8$ 和群 $H=\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$，讨论它们之间是否存在群同构，并进行详细的同态映射讨论。

  • 通过映射 $\varphi :{\mathbb{Z}}_8\to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 验证其是否为群同构，并讨论映射的核和像。

• 例题 2： 考虑群 $G=S_3$（对称群）和群 $H={\mathbb{Z}}_6$，讨论它们是否同构，并给出判断标准。

2. 解决具体的群同态和同构问题

活动内容：

• 例题 1： 考虑群 $G=\mathbb{Z}$ 和 $H=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$，找出映射 $\varphi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 的核和像。
• 例题 2： 给定群 $G=S_3$ 和 $H={\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_2$，判断它们是否同构。

四、Python代码实现示例

群同态的计算：

import numpy as np

# 定义整数加法群和模 6 群的同态
def homomorphism(x, mod):
    return x % mod

# 计算同态的核（即所有映射到0的元素）
def kernel(group, mod):
    return [x for x in group if homomorphism(x, mod) == 0]

# 计算同态的像（即所有模6的元素）
def image(group, mod):
    return [homomorphism(x, mod) for x in group]

# 设定群 G = Z 和模6
G = np.arange(0, 12)  # 整数加法群Z的部分
mod = 6

# 计算核和像
ker = kernel(G, mod)
img = image(G, mod)

print(f"核：{ker}")
print(f"像：{img}")

群同构的判定：

# 检查两个群是否同构的基本方法（元素阶和群的结构相似性）
def are_isomorphic(group1, group2):
    # 判断两个群的阶是否相同
    if len(group1) != len(group2):
        return False
    # 检查两个群的元素阶是否相同
    for elem1 in group1:
        if elem1 not in group2:
            return False
    return True

# 示例：检查两个群是否同构
group1 = [0, 1, 2, 3, 4, 5]  # Z6群
group2 = [0, 1, 2, 3, 4, 5]  # Z6群

if are_isomorphic(group1, group2):
    print("这两个群是同构的！")
else:
    print("这两个群不是同构的。")

总结

通过这节课，将深入了解群同态与同构的概念，掌握群同态的核与像的计算方法，理解群同构的判定标准，并通过具体案例加深对群同态和同构在数学及实际应用中的理解。