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所以在群的意义上，如果不考虑子群关系，单独把 Z和 2Z 拿出来的时候，我们就认为它们是不可区分的，完全相同的两个群。如果我们把 2Z 中的 2 都看成 1，4 都看成 2，以此类推，将 2k都看成 k，那么两个群的运算规则是一模一样的。是数学中最重要的概念之一。设群(G,∗)和群(G′,⊗)，如果函数 f : G→G′ 对于∀a,b∈G，都有：f(a∗b)=f(a)⊗f(b)那么f就是(G,∗)到(G′,⊗)的群同态。f:G→K，使得对于任意的 x,y∈G都满足 f(x)f(y)=f(xy)，这两个群。

那么a,b属于H1，ab^(-1)属于H1，同理ab^(-1)属于H2,故ab^(-1)属于H1交H2，故H1交H2仍为G的子群。如果群G的非空子集合H对于G的运算也成一个群，那么H称为G的子群。如果其他的子群存在的话，称为非平凡子群，若子群H≠G,称为。设G 是群，H≤G，则子群H 的单位元就是群G的单位元，H 中元素 𝑎 在H中的逆元就是 𝑎 在G中的逆元。设H是群G的一个非空子集，如果H对于G的运算也作成一个群，则称H为G的一个子群，用符号H≤G表示。任一群G都有两个明显的子群，称为G的平凡子群。

群为什么叫群，群（group）这个术语最早由Galois引入，他使用这个词仅仅表示它是元素的聚集。现在的抽象群是Galois的群概念的推广。群是抽象的概念，是代数学中最基本的代数结构，群是由一个集合以及一个二元运算所组成。若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群（有限群的元素个数称为有限群的阶），否则称为无限群。：将集合中的任意两个元素构成唯一的另一个元素的运算。群乘不一定是代数运算中的乘法，也不一定满足交换律。假设存在元素a属于G，a有不相等的逆元b和c。故群里的单位元是唯一的。