群同态和群同构的区别_抽象代数3-1群同态的简单性质与低阶群的结构

通过同态研究代数结构是一个非常重要的途径。群同态有很好的一些性质。满同态可以传递代数结构。

群同态保持子群结构，将原象的子群映成像里的子群，将像里的子群拉回去是原象的子群。

群同态把单位元映成单位元，把一个元素的逆元映过去的象是其象的逆。

两个同构的群可以认为是一样的。

下一节我们会讲到：满同态还保持正规子群的结构，将原象的正规子群映成像里的正规子群，将像里的正规子群拉回去是原象中的正规子群。

一、群同态与同构的简单性质

先回忆群同态的定义：定义1：设G和G̅是群，若映射φ:G⟶G̅,对 ∀a,b∈G 均有：φ(ab)=φ(a)φ(b), 则称φ是群同态映射。

(1)若φ是满射，则称φ为满同态映射.此时称G和G̅同态, 记为 G~ G̅.

(2)若φ是单射，则称φ为单同态.

(3)若φ是双射，则称φ为群同构，此时记为G≅G̅.

(4)群G到自身的同态(同构)叫G的自同态(自同构).

也就是：同态=映射+保持运算；同构＝同态+双射。而其中“满同态”十分重要，它具有 “传递”作用。

定理1. 设G和G̅是两个有代数运算的集合，它们之间有一个满同态φ。如果G是群，则它的满同态象G̅也是群。(满同态传递群结构)证：首先满同态保持结合律，在之前的预备知识里就介绍过了。(1)设e是群G的单位元，注意φ是满射，容易验证φ(e)是G̅的单位元；(2)由φ是满同态，G̅中任一个元素都是G中元素a的像

的形式，易验证

，从而G̅中元素都有逆元。

实际上不需要是满同态，任意一个群同态就可以将单位元映成单位元，把一个元素的逆元映过去的象是其象的逆。

定理2. 设φ是群G到群G̅的同态(不需要是满同态)，设G的单位元为e，G̅的单位元为 e̅ 。则：(1)

(将单位元映成单位元)；(2)

证：因为φ是群G到其像集φ(G)的满同态，从而由满同态传递群结构知，φ(G)是G̅的子群，而子群中的单位元就是大群G̅中的单位元，子群中元素的逆元就是其在大群中的逆元。所以由定理1，结论马上成立。

群同态的另一个很好的性质是保持子群结构，将原象中的子群映成像里的子群，将像里的子群拉回去是原象中的子群。

定理3.设φ是群G到群G̅的同态(不需要是满同态)，则：(1)若H是G的子群，则φ(H)是G̅的子群；(2)若 H̅ 是 G̅ 的子群，则

是G的子群。(这里的

表示取原象，不是说φ是可逆的，不是表示φ的逆映射)证明是很容易的。

下面给出单同态的一个判定，我们知道向量空间中的线性映射是单射当且仅当0向量的原象只有0，向量空间实际上是向量关于加法构成的一个加法群，再附加一个数乘运算。对群来说，也有类似结果。

定理4.设φ是群G到群G̅的同态，则φ是单射当且仅当单位元 e̅ 的原象只有e.证：必要性显然，充分性只需要注意若φ(a)=φ(b),则

从而

下面看几个简单的例子：

例1：

是一般线性群到域的非零元素集合的满同态。

例2：正实数乘群与实数加群是同构的。证：

就是正实数乘群与实数加群的同构。

不同构的例子：

例3：四次单位根群

={1,i,-1,-i}与Klein四元群

={e,a,b,ab}是否同构？解：不同构，注意

中 i 和 -i 是4阶元，而

中元素除了e以外均是2阶元. 若两者存在同构φ，则

, 而同态把单位元映成单位元，

,矛盾。

例4：实数加群与非零实数乘群是不同构的。证：类似例3，注意到实数加法群中除了单位元0以外，每个元素都是无限阶的；而非零实数关于乘法构成的集合中有一个非常特殊的元素：-1，其阶数为2. 所以如果φ是实数加群到非零实数乘群的同构，若

,得到实数集合中存在一个数的平方为-1，矛盾。

二、低阶群的结构

例3 实际上指出4阶群在同构意义下只有两种：四次单位根群

={1,i,-1,-i}与Klein四元群

={e,a,b,ab}。这很容易证明，根据Lagrange定理，如果

是4阶群G中一个非单位元，则

整除4，从而

或4。如果有一个4阶元a，则G是循环群，同构于

;若G没有4阶元，即除了单位元外均为2阶元，那G就是Klein四元群。

根据Lagrange定理，素数阶群为循环群，从而在同构意义下，2，3，5，7...等素数阶群都是循环群。现在看6阶群。定理5(Cayley1854年)6阶群在同构意义下只有两种：循环群或者3元对称群

。

证：由2-2群元素的阶数中的练习2：有限群中阶大于2的元素一定是偶数个；从而偶数阶群中一定有2阶元素。(只需要注意阶>2的元素是成对出现的：

，就可以证明这个练习)从而6阶群G中至少有一个2阶元，设为a.

任取G中元素

若b和ab的阶均为2，则

。从而

于是

是G的4阶子群，但是

，与Lagrange定理矛盾。从而b和ab的阶至少有一个不为2。不妨设

(1)若

是循环群。

(2)若

.继续分两种情况讨论。

(i)若ab=ba，由a的阶2和b的阶3互素得：

是循环群。

(ii)若

，则

是互异的6个元素，从而

做映射

易知它就是G和

的同构。

思考8阶群的结构： 8阶群中有3个交换群，2个非交换群。

数学家Cayley趣事：每次讲低阶群分类的时候，Cayley都要被拿出来吊打一次…..Cayley在1854年的一篇文章里说，所有阶数为6的群一定同构于

或者

。然而，1878年，他在一篇发表在American Journal of Mathematics上的文章里说6阶群有三种:

在叙述这件事的时候，一般教材在结尾加这样一句话:

Even Homer nods.(荷马也有打盹儿的时候，老虎也有打盹儿的时候)