FansMing的博客

代入原方程进行验算，都是正确的。线性同余方程的表述为 ax ≡ b ( mod n ) ，称整数ax与b对模n同余，此方程有解当且仅当 b 能被 a 与 n 的最大公约数整除，此时，如果 x0 是方程的一个解，那么方程的通解可以表示为 { x0 + kn / gcd(a, n) | (k∈Z) }。例如 a=6，b=9，使用欧几里得算法我们可以得到 gcd(6, 9) = 3，通过使用扩欧算法，不仅可以计算得到最大公约数 3 ，而且可以得到方程 6x+9y = 3 的整数解 x、y。

即：若a≡b(mod m)，a≡b(mod m)，则a×a≡b×b(mod m)。（3）传递性（Transitive Property）：若a、b和c是整数，且a≡b(mod m)和b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。（2）对称性（Symmetric Property）：若a和b是整数，且a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。（5）若a≡b(mod m)，且m＝qn，则a≡b(mod n)，a≡b(mod q)；（4）若a≡b(mod m)，且k是整数，则k×a≡k×b(mod m)。

中国剩余定理 , 又称孙子定理 ,是中国古代求解一次同余式组的方法。若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件：存在整数x,y使ax+by=1.今有一物不知其数 , 三三数之剩二 , 五五数之剩三 , 七七数之剩二 , 问物几何？), 我们以上面的原题为例 , 可以化为三组联立的一次同余式 , 即。, 两个式子证法完全相同 , 故我们只证明前一个式子 . 如果。

（2）对于(b，a mod b)的任意公约数d，根据公约数的性质可得：d既是b的约数，也是a - cb的约数。因此d能整除b，d也能整除a - cb。（1）对于(a,b)的任意公约数d，根据公约数的性质可得：d既是a的约数，也是b的约数。该算法不断地将b，a mod b作为新的a，b进行迭代计算，直到当b为0时a就是最大公约数。因为不可能存在比d更大的数作为其公约数，因此d就是 (d，0)及 (a，b)的最大公约数。，因为d能整除d，同时d也能整除0，则d 是(d，0)的公约数，而且是最大公约数,

例如，模5的一个简化剩余系是1，2，3，4，模10的一个简化剩余系是1，3，7，9，模18的一个简化剩余系是1，5，7，11，13，17。Z(x)和Z(m)×Z(n)之间存在一一映射，所以x的完全余数集(见下面参考)中的元素的个数Z(x)等于Z(m)×Z(n)元素的个数；根据费马小定理，若正整数 a与素数p互质，则有a^(p-1)≡1 mod n由于φ(p)=p-1 ，又有此处的p=n，故a^(p-1)=1 mod n成立。在数论，对于正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的个数，记作φ(n)。