椭圆曲线-公钥密码学数学基础

椭圆曲线密码学建立在抽象代数(群、环、域)与数论基础上，几个相关的数学概念陈述如下。

1.群

        群是代数学中的基本概念，它是一种只含有单个运算的代数结构。设𝑆是一非空集合，把𝑆×𝑆→𝑆的一个映射∘称为S上的二元运算，为方便起见，把𝑎,𝑏∈𝑆的像∘(𝑎,𝑏)记做a∘𝑏。

非空集合𝐺对于𝐺上的二元运算∘来说作成一个群，满足如下条件：

(1) ∘是结合的，即对任何𝑎,𝑏,𝑐∈𝐺, 𝑎∘(𝑏∘c)=(𝑎∘𝑏)∘𝑐；

(2)𝐺中存在一个运算𝑒满足任意𝑎∈𝐺, 𝑎∘𝑒=𝑒∘𝑎=𝑎, 这个元素称为𝐺中的单位元；

(3) 任意𝑎∈𝐺，存在一个元素𝑎−1 ∈𝐺，满足𝑎∘𝑎−1=𝑎−1∘𝑎=𝑒, 这个元素称为𝑎逆元.如果G中的元素还满足

(4) 任意𝑎,𝑏∈𝐺, 𝑎∘𝑏=𝑏∘𝑎, 则称𝐺为交换群或Abel群

1.1.1群的阶

        一个群𝐺称作有限群，如果G中含有有限多个元素。有限群中元素个数称为G的阶，用|𝐺|表示。

1.1.2元素的阶

        设𝐺是群，𝑎是群的一个元素，如果存在正整数𝑚，使得𝑎𝑚=1，则称𝑎是有限阶的元素，而把最小的满足𝑎𝑚=1的正整数𝑚叫做元素𝑎的阶，用|𝑎|表示。

1.1.3 循环群

        一个群G称为循环群，如果存在一个元素𝑎∈𝐺使得𝐺=〈𝑎〉，元素𝑎称为G的生成元，显然任何循环群都是交换群。

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1.2环

一个集合R称为一个环，如果R有一个加法+和一个乘法∙满足：

(1) (R,+)是一个交换群；

(2) 乘法运算∙满足结合律(𝑎 ∙b) ∙c=𝑎 ∙(b ∙c)；

(3) 加法运算和乘法运算满足分配率，即对任何a,b,c ∈R, 𝑎 ∙(b+c)=𝑎 ∙ b+𝑎 ∙ c, (b+c) ∙𝑎=b ∙𝑎+c ∙𝑎。

1.2.1环的特征

        设R是环，如果存在正整数n使得对任何r∈R,n∙r=0, 但对于任何小于n的正整数𝑛′,n′∙r≠0, 则称n为环R的特征，否则称R的特征为0。

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1.3 域

(1) 一个环称为有单位元的，如果它有乘法单位元1；

(2) 一个环称为交换环，如果其中的乘法是可交换的；

(3)一个换称为整环，如果它是一个交换的有单位元的环，1≠0且对于任意的𝑎 ≠0,b ≠0⟹𝑎𝑏≠0；

(4)一个环称为除环，如果所有非零元在乘法运算∙下构成一个群；

(5)一个交换的除环称为域。

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2. 椭圆曲线基本理论

2.1椭圆曲线方程

椭圆曲线E是由定义在域K上的Weierstrass方程定义：

E：y2+𝑎1xy+𝑎3y=x3+𝑎2x2+𝑎4x+𝑎6

其中𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎6∈𝐾且Δ≠0,Δ是E的判别式：