高等数学笔记：旋转矩阵

最新推荐文章于 2024-04-25 20:44:39 发布

野原星月

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文章标签：矩阵笔记线性代数旋转矩阵

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ding_Yifan/article/details/132976272

文章介绍了如何记忆旋转矩阵的性质，包括特殊情形下点的旋转公式、矩阵分析中的行列式特征以及与极坐标变换的联系。通过理解cos和sin在矩阵中的作用，读者能更好地掌握旋转矩阵的几何意义。

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旋转矩阵

$sin⁡θcos⁡θ]\displaystyle{ \displaystyle{\left[\begin{array}{lll} \ \cos\theta & -\sin\theta\ \\ \ \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right]} }$ .

点 $D$ 旋转 $θ\theta$ 角度到点 $E$ .
设 $(x,y)E\ (u,v)\ ,\ D\ (x,y)$ ，则 $v/sin⁡θ=xu/\cos\theta = x\ ,\ v/\sin\theta = x$ .
$]\displaystyle{ \displaystyle{\left[\begin{array}{lll} \ u\ \\ \ v \ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} \ \cos\theta\cdot x\ \\ \ \sin\theta\cdot x \ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} \ \cos\theta & ?\ \\ \ \sin\theta & ?\end{array}\right]}\left[\begin{array}{lll} \ x\ \\ \ 0 \ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} \ \cos\theta & -\sin\theta\ \\ \ \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} \ x\ \\ \ y \ \end{array}\right] }$ .

$sin⁡θ?]\displaystyle{ \displaystyle{\left[\begin{array}{lll} \ \cos\theta & ?\ \\ \ \sin\theta & ?\end{array}\right]} }$ ，怎么记忆？
旋转矩阵的行列式 $1=\ 1$ ，那么 $cos⁡\cos$ 的对角线就是 $cos⁡\cos$ ，
$sin⁡\sin$ 的对角线就是 $sin⁡\sin$ ，而且副对角线需要有一个带负号。
只有这样，行列式才会得到 $cos^2+\sin^2$ 的形式。

极坐标变换中，有 $x=rcos⁡θx=r\cos\theta$ ， $y=rsin⁡θy=r\sin\theta$ ，
那么 $x, y$ 对 $r,θr,\theta$ 的雅可比矩阵为：
$sin⁡θrcos⁡θ]\displaystyle{ \displaystyle{\left[\begin{array}{lll} \ \displaystyle{\frac{\partial x}{\partial r}} & \displaystyle{\frac{\partial x}{\partial \theta}}\ \\ \ \displaystyle{\frac{\partial y}{\partial r}} & \displaystyle{\frac{\partial y}{\partial \theta}}\end{array}\right]}=\displaystyle{\left[\begin{array}{lll} \ \cos\theta & -r\sin\theta\ \\ \ \sin\theta & r\cos\theta\end{array}\right]} }$ ，
当 $r = 1$ 时，即为旋转矩阵： $sin⁡θcos⁡θ]\displaystyle{ \displaystyle{\left[\begin{array}{lll} \ \cos\theta & -\sin\theta\ \\ \ \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right]} }$ .