高等数学笔记：三角积分星球

三角积分星球

一、三角定积分

01 $[0,\pi /2]$ 区间计算

定理：正余弦互换

• ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x,\cos x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x,\sin x)dx$

定理：点火公式

• ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=I(n)={\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}\cdot {\mathrm{H}}_{\mathrm{n}}$
• ${\mathrm{H}}_{\mathrm{n}}=\{\begin{array}{c}1,n为奇数,点火失败\\ \frac{\pi }{2},n为偶数,点火成功\end{array}$
• 点火系数，${\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}=\frac{(n-1)!!}{n!!}$
• 点火值，${\mathrm{H}}_{\mathrm{n}}$

定理：烈火公式

• ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\cdot {\cos }^{m}xdx=I(m,n)=\mathrm{R}\cdot {\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}\cdot {\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}\cdot {\mathrm{H}}_{\mathrm{m},\mathrm{n}}$
• ${\mathrm{H}}_{\mathrm{m},\mathrm{n}}=\{\begin{array}{c}1,{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}},{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}有一个失败，就算失败\\ \frac{\pi }{2},{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}},{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}都点火成功，才算成功\end{array}$
• 火箭系数，$\mathrm{R}=\frac{m!!\cdot n!!}{(m+n)!!}$
• 点火系数，${\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}=\frac{(n-1)!!}{n!!}$
• 点火值，${\mathrm{H}}_{\mathrm{n}},{\mathrm{H}}_{\mathrm{m}},{\mathrm{H}}_{\mathrm{m},\mathrm{n}}$

02 葵花点穴手

定理：广义对称性

① 奇偶性

• ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{cc}0& f(x)为奇函数\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx& f(x)为偶函数\end{array}$

② 对称性

• ${\int }_{x_0-a}^{x_0+a}f(x)dx=\{\begin{array}{cc}0& f(x)关于(x_0,0)中心对称\\ 2{\int }_{x_0}^{x_0+a}f(x)dx& f(x)关于x=x_0轴对称\end{array}$

定理：广义对称乘法

① 奇偶乘法

• 奇函数 × 奇函数 = 偶函数，
• 奇函数 × 偶函数 = 奇函数，
• 偶函数 × 偶函数 = 偶函数。

② 对称乘法

• $f(x)$ 关于 $(x_0,0)$ 中心对称，$g(x)$ 关于 $(x_0,0)$ 中心对称，则 $f(x)\cdot g(x)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称。
• $f(x)$ 关于 $(x_0,0)$ 中心对称，$g(x)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称，则 $f(x)\cdot g(x)$ 关于 $(x_0,0)$ 中心对称。
• $f(x)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称，$g(x)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称，则 $f(x)\cdot g(x)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称。

定理：广义对称乘方

① 奇偶乘方

• $f(x)$ 是奇函数，则 $\displaystyle{ \begin{cases}\ f^{2k}(x)是偶函数 \ \ f^{2k+1}(x)是奇函数 \end{cases} }% $

• $f(x)$ 是奇函数，则 $f^k(x)$ 是偶函数。

② 对称乘方

• $f(x)$ 关于 $(x_0,0)$ 中心对称，则 $\displaystyle{ \begin{cases}\ f^{2k}(x)关于x=x_0轴对称 \ \ f^{2k+1}(x)关于(x_0,0)中心对称 \end{cases} }% $
• $f(x)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称，则 $f^k(x)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称。

定理：葵花点穴手

• 当出现轴心重合的函数积分时，心的纵坐标可以直接提出来。

03 积分区间大讨论

(1) 积分转换基础

• 定理：周期转换

• $f(x)$ 以 $\mathrm{T}$ 为周期，则 ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$

(2) 积分区间讨论

• 从 $0$ 到 $\frac{\pi }{2}$ 的积分

  • 点火公式 + 烈火公式

• 从 $0$ 到 $\pi$ 的积分

  • 利用轴心国理论转化为第一种积分

• 从 $0$ 到 $\frac{3\pi }{2}$ 的积分

  • 区间分割： ${\int }_0^{2\pi }f(x)dx-{\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{2\pi }f(x)dx=A-B$

  • ${\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{2\pi }\sin xdx=-I(1),{\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{2\pi }\cos xdx=I(1)$

  • 由图像可知，$B=-I(m,n)$

• 从 $0$ 到 $2\pi$ 的积分

  • 利用轴心国理论转化为第一种积分

  • 需要转换两次，每次区间折半

• 从 $-\frac{\pi }{2}$ 到 $\frac{\pi }{2}$ 的积分

  • 利用奇偶性

(3) 参考用总结

• 从 $0$ 到 $2\pi$ 的积分
  • ${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{n}x\cdot {\cos }^{m}xdx=\{\begin{array}{cc}0& m,n中有奇数\\ 4I(m,n)& m,n全为偶数\end{array}$

二、三角不定积分

01 积分公式

• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ .
• $\cos 2y=2{\cos }^{2}y-1=1-2{\sin }^{2}y$ ，$\sin 2x=2\sin x\cos x$ .
• ${\sec }^{2}x={\tan }^{2}x+1$ ，${\csc }^{4}x={\cot }^{2}x+1$ .
• $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x$ .
• $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ .
• ${\sec }^{2}dx$ $=d\tan x$ ，${\csc }^{2}xd=-d\cot x$ .
• $\sin xdx=-d\cos x$ ，$\cos xdx=d\sin x$ .
• $\sec x\tan xd=d\sec x$ ，$\sin 2xdx=d{\sin }^{2}x=-d{\cos }^{2}x$ .

02 基本积分法

(1) 三角凑微分

• 常见的凑微分

  • $\sin xdx=-d\cos x$ ，$\cos xdx=d\sin x$ ，

  • $\frac{dx}{{\cos }^{2}x}=d\tan x$ ， $\frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-d\frac{1}{\tan x}$ .

• 不常见的凑微分

  • $(\cos x-\sin x)dx=d(\sin x+\cos x)$ .
  • $\sin 2xdx=d{\sin }^{2}x$ ，$-\sin 2xdx=d{\cos }^{2}x$ .

(2) 三角换元

• 三种常见的三角换元：画图辅助
• 按照直角三角形的勾股定理构造变量

(3) 三角分部积分

• 利用表格法求解

03 三角积分技巧

(1) 有理三角的幂次积分

① 正余弦偶次幂处理

• ${\sin }^{n}x,{\cos }^{n}x$ ，$n$ 为偶数
• 利用倍角降幂即可

② 正余弦奇次幂处理

• ${\sin }^{n}x,{\cos }^{n}x$ ，$n$ 为奇数
• 凑 $d\sin x$ 或 $d\cos x$ .

③ 正余切幂次处理

• 求 ${\sec }^{3}x,{\tan }^{3}x,{\cot }^{3}x,{\csc }^{3}x$ 的不定积分
• 白银代换
  • $\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x+1$ ，$\frac{1}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\tan }^{2}x}+1$ .

(2) 和差与积互化公式

① 适用范围

• $\int \sin mx\cdot \cos nx$，$\int \sin mx\cdot \sin nx$，$\int \cos mx\cdot \cos nx$ .

② 分类讨论

1.当 $m=n$ 时，倍角公式或降幂公式

2.当 $m\ne n$ 时，

• $\sin mx\cdot \cos nx=\frac{1}{2}[\sin (m+n)x+\sin (m-n)x]$
  • $\sin x\cdot \cos x=\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}[\sin 2x+\sin 0x]$
• $\sin mx\cdot \sin nx=\frac{1}{2}[\cos (m-n)x-\cos (m+n)x]$
  • $\sin x\cdot \sin x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}[\cos 0x-\cos 2x]$
• $\cos mx\cdot \cos nx=\frac{1}{2}[\cos (m+n)x+\cos (m-n)x]$
  • $\cos x\cdot \cos x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}[\cos 0x+\cos 2x]$

(3) $\int R(\sin x,\cos x)dx$

• $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$

  • 整角代换：令 $\cos x=t$ .

  • $R=\int d\cos x=-\int \sin xdx$ .

  • 将 $\sin x$ 换为 $-\sin x$，$R=-R$ .

• $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$

  • 整角代换：令 $\sin x=t$ .

  • $R=\int d\sin x=\int \cos xdx$ .

  • 将 $\cos x$ 换为 $-\cos x$，$R=-R$ .

• $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$
  • 整角代换：令 $\tan x=t$ .
  • $R=\int d\tan x=\int {\cos }^{-2}xdx$ .
  • 将 $\sin x$ 换为 $-\sin x$，将 $\cos x$ 换为 $-\cos x$，$R=R$ .

(4) 万能代换

• $t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^2},x=2\arctan x$ .
• $\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ .

(5) 典型类型

• $\int \frac{1}{a\sin x+b}dx$ 和 $\int \frac{1}{a\cos x+b}dx$
  • 思路1：万能公式代换
  • 思路2：二倍角公式
• $\int \frac{1}{a\sin x+b\cos x+c}dx$
  • 思路1：万能公式代换
  • 思路2：利用 $a\sin x+b\cos x=A\sin (x+\alpha )$ 辅助角
• $\int \frac{1}{a\sin x+b\cos x}dx$
  • 思路1：万能公式代换
  • 思路2：利用 $a\sin x+b\cos x$ 辅助角，$\int \frac{1}{A\sin (x+\alpha )}dx$ 的积分
• $\int \frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx$
  • 思路：直接凑分子，待定系数，求出 $A,B$ 即可
  • $a\sin x+b\cos x=A(c\sin x+d\cos x)+B(c\sin x+d\cos x{)}^{\prime }$ .