三角函数积分的基本方法

以下方法来自《高等数学(第七版)》P197-P199的摘抄

①对于sin^{2k+1}xcos^{n}xsin^{n}xcos^{2k+1}x(其中k∈N)型函数的积分

可以凑dcosxdsinx来计算。

②对于sin^{2k}xcos^{2l}x(k,l∈N)型函数,可利用三角恒等式

sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x)cos^{2}x=\frac{1}{2}(1+cos2x)

化成cos2x的多项式,然后将奇数次项和偶数次项分开,再求积分。

③对于tan^{n}xsec^{2k}xtan^{2k-1}xsec^{n}x(n,k∈N_{+})型函数的积分,可依次作变换u=tanx或u=secx,求得结果。

④利用三角恒等变换来进行求解

⑤利用和差化积、积化和差、万能公式来进行求解

和差化积公式:

\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right), \\ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right), \\ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right), \\ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right).

积化和差公式:

\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)], \\ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)], \\ \cos A \cos B= \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)], \\ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)].

万能公式:

\sin A = \frac{2 \tan\left(\frac{A}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{A}{2}\right)}, \\ \cos A = \frac{1 - \tan^2\left(\frac{A}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{A}{2}\right)}, \\ \tan A = \frac{2 \tan\left(\frac{A}{2}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{A}{2}\right)}.

另外,给出两个特殊的三角积分计算小技巧

\frac{a_{1}sinx+b_{1}cosx}{asinx+bcosx}型的积分,令a_{1}sinx+b_{1}cosx=A(asinx+bcosx)+B(asinx+bcosx)'

例如:求\int \frac{cosx}{2sinx+cosx}dx的不定积分,下面给出详细解答过程:

通义tongyi.ai_你的全能AI助手-通义千问

第二种特殊的三角积分

\int \frac{dx}{sin(x+a)sin(x+b)}dx=\frac{1}{cos(a-b)}\int \frac{cos[(x+a)-(x-b)]}{sin(x+a)sin(x+b)}dx

\int \frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)}dx=\frac{1}{sin(a-b)}\int \frac{sin[(x+a)-(x-b)]}{sin(x+a)cos(x+b)}dx

通过这个这个变换可以把分母消掉,只剩下两个三角函数的乘积,然后再通过积化和差公式求解。

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