三角函数积分的基本方法

燃烧的秸秆

已于 2024-11-17 12:46:42 修改

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于 2024-11-17 12:10:49 首次发布

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以下方法来自《高等数学（第七版）》P197-P199的摘抄

①对于 $sin^{2k+1}xcos^{n}x$ 或 $sin^{n}xcos^{2k+1}x$ （其中k∈N）型函数的积分

可以凑 $dcosx$ 或 $dsinx$ 来计算。

②对于 $sin^{2k}xcos^{2l}x$ （k，l∈N）型函数，可利用三角恒等式

$sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x)$ 和 $cos^{2}x=\frac{1}{2}(1+cos2x)$

化成cos2x的多项式，然后将奇数次项和偶数次项分开，再求积分。

③对于 $tan^{n}xsec^{2k}x$ 或 $tan^{2k-1}xsec^{n}x$ （n,k∈ $N_{+}$ ）型函数的积分，可依次作变换u=tanx或u=secx，求得结果。

④利用三角恒等变换来进行求解

⑤利用和差化积、积化和差、万能公式来进行求解

和差化积公式：

$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right), \\ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right), \\ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right), \\ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right).$

积化和差公式：

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)], \\ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)], \\ \cos A \cos B= \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)], \\ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)].$

万能公式：

$\sin A = \frac{2 \tan\left(\frac{A}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{A}{2}\right)}, \\ \cos A = \frac{1 - \tan^2\left(\frac{A}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{A}{2}\right)}, \\ \tan A = \frac{2 \tan\left(\frac{A}{2}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{A}{2}\right)}.$