多元函数微分学（微积分）

多元函数微分法及其应用

由一元微分演化而来

1 多元函数

一、函数——极限——连续

分段函数-分片函数；趋于定点的方式；不连续点的证明方法，连续函数的性质

• 聚点=内点+边界

  • 邻域($O(M,\delta )$) $\to$ 开集 内点 $\to$ 开集 （不带“=”）

  • 点集的所有边界点称为边界(边界是点集)，边界不一定封闭（如：x $\ge$ y）

  • 开集+连通=开区域 开区域+边界=闭区域

    P3 定义1：二元函数的定义

    模型：和式的极限

    步骤：1.分割 2.求和 3.取极限

• 孤立点是边界点，不是聚点

  • 1.定义2 极限：$P_0(x_0,y_0)是定义域D的聚点，\forall ϵ>0,\exists \delta >0,当0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta 时,恒有\left|f(x,y)-A\right|<ϵ$

  • 2.(后者有先后)$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0 \\ y\to y_0}{\lim }f(x,y)\ne \underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y) \end{gathered}$$

  • 3.$$\begin{gathered} \underset{x\to 0 \\ y\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^{2}y)}{x^2+y^2}=\underset{x\to 0 \\ y\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^{2}y)}{x^{2}y}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\le 1\cdot \frac{|x|}{2}=0\times \\ \underset{x\to 0 \\ y\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^{2}y)}{x^2+y^2}\le \underset{x\to 0 \\ y\to 0}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\le \frac{|x|}{2}=0✓ \end{gathered}$$

• 4.例：$$\begin{gathered} 求\underset{x\to 0 \\ y\to 0}{\lim }\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \end{gathered}$$ 使用极坐标
  $$\begin{gathered} 解：取x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta \\ 原式=\underset{\rho \to 0}{\lim }\rho ({\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta )\le \underset{\rho \to 0}{\lim }\rho =0 \end{gathered}$$
  ​

  • $f_x(0,0)是否存在,看$
    $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}$$

• 确定极限不存在的方法：

  • 例$y=kx$,若极限值与 $k$ 有关，可断言极限不存在

• 不同种趋近方式使$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0 \\ y\to y_0}{\lim }f(x,y) \end{gathered}$$存在但两者不相等，可断言极限不存在

• P5 定义3 连续性：若$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某邻域有意义，则$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0 \\ y\to y_0}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0) \end{gathered}$$$⟺$$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续​

  • 定理3 复合函数连续性
  • 有界性定理
  • 最值定理
  • 介质定理

二、偏导数

• 求 分界点，不连续点 处的偏导数要用 定义 求（一元函数不连续必不可导，多元函数不连续可能偏导数存在）
• 求偏导数复杂可转化为求导数：${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)}={\frac{dz(x_0,y_0)}{dx}|}_{x=x_0}$.

例：$f(x,y)=\sqrt{|xy|},求f_x(0,0)$

解：
$$\begin{gathered} f(x,y)=\{\begin{array}{l}\sqrt{xy}一三象限\\ \sqrt{-xy}二四象限\\ 0坐标轴上\end{array} \\ 则f_x(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{(0+\Delta x)\cdot 0}-\sqrt{0\cdot 0}}{\Delta x}=0 \end{gathered}$$

• 多元函数偏导存在不一定连续

• 高阶偏导数（$混合偏导：f_{xy},f_{yx}纯偏导：f_{xx},f_{yy}$）

  若两个混合偏导数连续，则$f_{xy}=f_{yx}$.

三、全微分

• 全增量$(\Delta z)$=全微分$(A\Delta x+B\Delta y)$+$o(\rho )$

  • 1.称$\Delta z$为$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$对应于$\Delta x,\Delta y$的全增量

    ​ $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$.

  • 2.$\Delta z$能分解为线性主部$A\Delta x+B\Delta y$和高阶无穷小量$o(\rho )(\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2})$，

    ​ 称$dz=A\Delta x+B\Delta y$为$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的全微分.

• 三个定理：

  • 1.定理3：可微$\Rightarrow$连续
  • 2.定理4：可微$\Rightarrow$偏导存在
  • 3.定理5：偏导存在+偏导数连续$\Rightarrow$可微

• 近似计算（$忽略o(\rho )$）:$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y$
  例：
  $$(1)求(1.04{)}^{2.02}(2)求ln(\sqrt[3]{1.03}+\sqrt[4]{0.98}-1)$$解：（1）
  $$\begin{gathered} 设函数f(x,y)=x^y，取x_0=1,y_0=2,\Delta x=0.04,\Delta y=0.02 \\ 且f_x=y{x}^{y-1},f_y=x^{y}lnx.故f_x(1,2)=2,f_y(1,2)=0 \\ (1.04{)}^2.02=1^2+2\times 0.04+0\times 0.02=1.08 \end{gathered}$$（2） $$\begin{gathered} 设函数f(x,y)=ln(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1)，取x_1=1,y_0=1,\Delta x=0.03,\Delta y=-0.02 \\ 且f_x=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1)},f_y=\frac{1}{4y^{\frac{3}{4}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1)}.故f_x(1,1)=\frac{1}{3},f_y(1,1)=\frac{1}{4} \\ ln(\sqrt[3]{1.03}+\sqrt[4]{0.98}-1)=0+\frac{1}{3}\times 0.03+\frac{1}{4}\times (-0.02)=0.005 \end{gathered}$$

• 证明全微分存在（判断可微的步骤）：（$\Delta z，f_x(x_0,y_0)，f_y(x_0,y_0)，\rho$ ）

  • 1.求出$f_x^{\prime }(x,u)，f_y^{\prime }(x,y)$，若偏导数在$(x_0,y_0)$处不连续，则不可微；计算$A=f_x^{\prime }(x,u),B=f_y^{\prime }(x,y)$，若其中至少有一个不存在，则不可微；若都存在，进入第二步

  • 2.计算 $$\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\rho }=0(?)$$其中 $$\begin{gathered} \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \\ \rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2} \end{gathered}$$ 若等于0，则可微（等价条件） 解：
    ​ （1）证f(x,y)连续：即证 $$\begin{gathered} \underset{x\to x_0 \\ y\to y_0}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0) \end{gathered}$$

    ​ （2）证偏导数存在：即证 $f_x(x_0,y_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x}$为定值

    ​ （3）证偏导数不连续

    ​ （4）证可微：即证 $\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$

• 叠加原理：多元函数的全微分等于其多个偏微分之和。（$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$）

• 全微分不变性：不论$u,v$是自变量还是中间变量，对于$z=f(u,v)$，都有$dz=f_{u}du+f_{v}dv$.

  例：$设u=\sin (x^2+y^2)+e^{xz},求在(1,0,1)处的全微分du.$
  解:$$\begin{gathered} du=\cos (x^2+y^2)d(x^2+y^2)+e^{xz}d(xz) \\ =\cos (x^2+y^2)(2xdx+2ydy)+e^{xz}(zdx+xdz) \\ =(2\cos 1+e)dx+edz. \end{gathered}$$

四、复合函数微分法

• 链式法则： $$\begin{gathered} \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{du}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}or\frac{dz}{dw}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial w}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w} \end{gathered}$$

• 例：$z=f(u,x,y),其中u=\varphi (x,y)，求\frac{\partial z}{\partial x}和\frac{\partial z}{\partial y}$.

  解：
  $$\begin{gathered} z=f(\varphi (x,y),x,y).令w=x,v=y \\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{dw}{dx}. \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{dv}{dy}. \end{gathered}$$
  区别：$z=f(u,x,y)VSz=f(\varphi (x,y),x,y)$.（$\frac{\partial z}{\partial x}\ne \frac{\partial f}{\partial x}=f_2$）

• 做题先写公式

• 例3： $w=f(x+y+z.xyz),f具有二阶连续偏导，求\frac{\partial w}{\partial x}和\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial z}$.

  解：
  $$\begin{gathered} 令u=x+y+z,v=xyz \\ (1)\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f_1(u,v)+f_2(u,v)yz. \\ (2)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial z}=f_{11}(u,v)+f_{12}(u,v)xy+yz(f_{21}(u,v)+f_{22}(u,v)xy) \\ =f_{12}(u,v)y(x+z)+f_{11}(u,v)+f_{22}(u,v)x{y}^{2}z.（\because f二阶连续偏导） \end{gathered}$$

  五、隐函数

1. 一个方程时（二元函数、三元函数）：

   • 条件1：$F(x_0,y_0)=0$

     条件2：$F_x,F_y连续$

     条件3：$F_y(x_0,y_0)\ne 0$

     则：存在唯一$y=f(x)$且$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$.

   • 条件1：$F(x_0,y_0,z_0)=0$

     条件2：$F_x,F_y,F_z连续$

     条件3：$F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0$

     则：存在唯一$z=f(x,y)$且$\frac{dz}{dx}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{dz}{dy}=-\frac{F_y}{F_z}$.

   例：$x^2+y^2+z^2-4z=0,求\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$
   $$\begin{gathered} 令F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4z=0 \\ {F}_x=2x,F_z=2z-4. \\ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z-4}=\frac{x}{2-z}, \\ \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{x}{2-z})=\frac{2-z+x{z}_x}{(2-z{)}^2}=\frac{(2-z{)}^2+x^2}{(2-z{)}^3}. \end{gathered}$$
   例：$z=f(x+y+z,xyz),求\frac{\partial z}{\partial x}$

   法1:
   $$\begin{gathered} F(x,y,z)=z-f(x+y+z,xyz) \\ {F}_x=-f_1^{\prime }-yz{f}_2^{\prime },F_z=1-f_1^{\prime }-xy{f}_2^{\prime }. \\ \therefore \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{f_1^{\prime }+yz{f}_2^{\prime }}{1-f_1^{\prime }-xy{f}_2^{\prime }}. \end{gathered}$$
   法2：
   $$\begin{gathered} 等式两边看成x,y的函数对x求偏导：\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }(1+\frac{\partial z}{\partial x})+f_2^{\prime }(yz+xy\frac{\partial z}{\partial x}) \\ \therefore \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{f_1^{\prime }+yz{f}_2^{\prime }}{1-f_1^{\prime }-xy{f}_2^{\prime }} \end{gathered}$$
   ​

2. 方程组时：由$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$确定隐函数$u=u(x,y),v=v(x,y)$

   • 克莱姆法则（联立求$\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}$等即可）

     $\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }+F_u^{\prime }\frac{\partial u}{\partial x}+F_v^{\prime }\frac{\partial v}{\partial x}=0,\\ G_x^{\prime }+G_u^{\prime }\frac{\partial u}{\partial x}+G_v^{\prime }\frac{\partial v}{\partial x}=0.\end{array}$

2 偏导应用

一、几何应用

1. 曲线

   • 参数方程形式$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$.取点$P_0(x_0,y_0,z_0)$

     • 切线：$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$.（两点式）

     • 切向量（切线的方向向量）：$\vec{l}=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$.

     • 法平面（与$P_0$处切线垂直的平面）：$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$.

   • 隐函数形式（两曲面交线）$\{\begin{array}{c}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$

     • 切线：

     $$\begin{gathered} \frac{x-x_0}{\frac{dx}{dx}}=\frac{y-y_0}{\frac{dy}{dx}}=\frac{z-z_0}{\frac{dz}{dx}} \\ \frac{x-x_0}{{\left|\begin{array}{cc}{F}_y& F_z\\ G_y& G_z\end{array}\right|}_{P_0}}=\frac{y-y_0}{{\left|\begin{array}{cc}{F}_z& F_x\\ G_z& G_x\end{array}\right|}_{P_0}}=\frac{z-z_0}{{\left|\begin{array}{cc}{F}_x& F_y\\ G_x& G_y\end{array}\right|}_{P_0}} \end{gathered}$$

     • 切向量：

     l⃗=∣ijkFxFyFzGxGyGz∣={∣FyFzGyGz∣,−∣FxFzGxGz∣,∣FxFyGxGy∣} \vec{l}= \begin{vmatrix}i & j & k \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{vmatrix}=\{\begin{vmatrix}F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{vmatrix},-\begin{vmatrix}F_x & F_z \\ G_x & G_z \end{vmatrix},\begin{vmatrix}F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{vmatrix}\} l=∣∣∣∣∣∣​iFx​Gx​​jFy​Gy​​kFz​Gz​​∣∣∣∣∣∣​={∣∣∣∣​Fy​Gy​​Fz​Gz​​∣∣∣∣​,−∣∣∣∣​Fx​Gx​​Fz​Gz​​∣∣∣∣​,∣∣∣∣​Fx​Gx​​Fy​Gy​​∣∣∣∣​}

     • 法平面：

     $${\left|\begin{array}{cc}{F}_y& F_z\\ G_y& G_z\end{array}\right|}_{P_0}(x-x_0)+{\left|\begin{array}{cc}{F}_z& F_x\\ G_z& G_x\end{array}\right|}_{P_0}(y-y_0)+{\left|\begin{array}{cc}{F}_x& F_y\\ G_x& G_y\end{array}\right|}_{P_0}(z-z_0)=0$$

2. 曲面

   • 一般方程为$F(x,y,z)=0$：

     • 切平面：$F_x^{\prime }(x-x_0)+F_y^{\prime }(y-y_0)+F_z^{\prime }(z-z_0)=0$.
     • 法线方程（与$P_0$处垂直于切平面的法线）：$\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }}$.
     • 法向量（法线的方向向量）：n⃗={Fx′(x0,y0,z0),Fy′(x0,y0,z0),Fz′(x0,y0,z0)}\vec{n} =\{F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0)\}n={Fx′​(x0​,y0​,z0​),Fy′​(x0​,y0​,z0​),Fz′​(x0​,y0​,z0​)}.

   • 当函数为$z=f(x.y)$时，切平面方程为 $F_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)=(z-z_0)$.

     表示函数$z=f(x.y)$在点$(x_0,y_0)$的全微分的几何意义指切平面上对应点的竖坐标的增量。

二、方向导数与梯度

1. 方向导数=平均变化率（$\rho \to 0$）

   $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial l}=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }，其中\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}.$

   P31 定理1：若函数$z=f(x,y)$在$P(x,y)$可微，则函数$z=f(x,y)$在点P沿任意射线$l$的方向导数都存在，且$\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y}\cos \beta$.

2. 梯度（点P出发速度变化最快的方向）

   • 对于平面$D$上的每一点$P(x,y)$都可定出一个速度变化最快的方向的向量$\frac{\partial z}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial z}{\partial y}\vec{j}$称为函数在此点的梯度，记为$gradf(x,y)$.

   • 由方向导数公式知，$\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y}\cos \beta =(\frac{\partial z}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial z}{\partial y}\vec{j})(\cos \alpha \vec{i}+\cos \beta \vec{j})=gradf(x,y)\cdot \vec{l}$，

     故当 方向导数方向与法线矢量方向相同 时，方向导数的模最大，为$|gradf(x,y)|=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2}$，这个方向向量即为此点的梯度。

三、多元函数的极值

1. 极值$f(x_0,y_0)$，极值点$P(x_0,y_0)$

   1. 必要条件：极值存在 $⟹$ $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0且f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$（驻点）

      驻点不一定是极值点。例：$z=xy$中的$(0,0)$是驻点但不是极值点​.

   2. 充分条件：

      • （1）$f(x,y)$有连续的二阶偏导数（则$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$.

      • （2）$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0且f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$.

      • （3）$[f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0){]}^2-f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)<0.$ $⟹$ 极值存在，其中$f_{xx}(x_0,y_0)<0$有极大值，$f_{xx}(x_0,y_0)>0$有极小值。

      ​ $[f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0){]}^2-f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)>0.$ $⟹$ 极值不存在

   3. 求法：

      • 1.解方程$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0和f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$得驻点
      • 2.对每个驻点$(x_0,y_0)$，求$A=f_{xx}(x_0,y_0)、B=f_{yy}(x_0,y_0)、C=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$的值
      • 3.由$B^2-AC$的符号确定是否为极值点，由$A$的符号确定极大值点或极小值点

   例：$求x^2+y^2+z^2-2x=2y-4z-10=0所确定的z=f(x,y)的极值$
   $$\begin{gathered} 求导得z_x^{\prime }=\frac{x-1}{2-z}，z_y^{\prime }=\frac{y+1}{2-z},得驻点为P(1,-1) \\ 求二阶导z_{xx}^{\prime \prime }=\frac{2-z+(x-1)z_x^{\prime }}{2-z}，则z_{xx}^{\prime \prime }{|}_p=\frac{1}{2-z}. \\ {z}_{xy}^{\prime \prime }=\frac{(x-1)z_y^{\prime }}{(2-z{)}^2}，则z_{xy}^{\prime \prime }{|}_p=0. \\ {z}_{xy}^{\prime \prime }=\frac{2-z+(y+1)z_y}{(2-z{)}^2}，则z_{xx}^{\prime \prime }{|}_p=\frac{1}{2-z}. \\ 故B^2-AC=-\frac{1}{(2-z{)}^2}<0，则在P点有极值。当P(1,-1)时，z=-2或6. \\ z=-2时,A=\frac{1}{4}>0，为极小值。z=6时,A=-\frac{1}{4}<0，为极大值。 \end{gathered}$$

2. 最值：

   比较函数 内部的所有驻点和 边界处的最值点 ，得出整体函数范围内的最值

3. 拉格朗日乘数法（条件极值，即要找$f(x,y)$在条件$g(x,y)=0$下可能得极值点）：

   方法：构造函数$F(x,y)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=0$，则$F(x,y)$的极值点便可能为$f(x,y)$的极值点。

   ​ 即求解方程$\{\begin{array}{l}{f}_x(x,y)+\lambda g_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)+\lambda g_y(x,y)=0\\ g(x,y)=0\end{array}$

例：$求椭圆x^2+2xy+3y^2-8y=0与直线x+y=8之间的最短距离$
$$\begin{gathered} 任一点(x_0,y_0)到直线距离的平方d^2=\frac{(x+y-8{)}^2}{2}. \\ 构造令F(x,y)=\frac{1}{2}(x+y-8{)}^2+\lambda (x^2+2xy+3y^2-8y), \\ 解方程\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }=x+y-8+(2\lambda x+2\lambda y)=0\\ F_y^{\prime }=x+y-8+(2\lambda x+6\lambda y-8\lambda )=0\\ x^2+2xy+3y^2-8y=0\end{array} \\ 解得\{\begin{array}{l}x=-2+2\sqrt{2}\\ y=2\end{array}或\{\begin{array}{l}x=-2-2\sqrt{2}\\ y=2\end{array}且d_1=4\sqrt{2}-2,d_2=4\sqrt{2}+2. \\ 故最短路径为4\sqrt{2}-2. \end{gathered}$$