高数强化NO6|极限的应用|连续的概念性质|间断点的定义分类|导数与微分

连续性

连续的概念

1. 函数在一点处连续
   $$\begin{array}{rl}& \text{设函数}f(x)\text{在点}{x}_0\text{的某邻域内有定义，并且}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)\text{，则称函数}f(x)\text{在}\\ & \text{点}{x}_0\text{处连续.}\\ & \\ & \text{设函数}f(x)\text{在点}{x}_0\text{的某右邻域内有定义，并且}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)\text{，则称函数}\\ & f(x)\text{在点}{x}_0\text{处右连续.类似地，我们还可以定义左连续.}\\ & \\ & \text{【注】函数}f(x)\text{在点}{x}_0\text{处连续的充要条件是它在该点左连续并且右连续.}\end{array}$$
2. 区间连续
   $$\begin{array}{rl}& \text{如果}f(x)\text{在}(a,b)\text{内每一点都连续，则称函数}f(x)\text{在开区间}(a,b)\text{内连续.}\\ & \\ & \text{如果}f(x)\text{在开区间}(a,b)\text{内连续，并且}f(x)\text{在}x=a\text{处右连续，在}x=b\text{处左连}\\ & \text{续，则称函数}f(x)\text{在闭区间}[a,b]\text{上连续.}\\ & \\ & \text{类似地，我们可以得到函数在区间}[a,b)\text{或}(a,b]\text{内连续的定义.}\end{array}$$

连续的性质

1. 四则运算的连续性
   $$\begin{array}{rl}& \text{设}f(x)、g(x)\text{均在某区间}I\text{上连续，则函数}{k}_{1}f(x)+k_{2}g(x)(k_1,k_2\in \mathbb{R})、\\ & f(x)g(x)、\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)\ne 0)\text{都在}I\text{上连续.}\end{array}$$
2. 复合函数的连续性
   $$\begin{array}{rl}& \text{设}y=f(u),u\in D,u=g(x),x\in I\text{均在其定义域上连续，且有}g(I)\subseteq D,\text{则}\\ & y=f(g(x))\text{是}I\text{上的连续函数.}\end{array}$$
3. 反函数的连续性
   $$\begin{array}{rl}& \text{设}y=f(x)\text{是}I\text{上的连续函数，}y=f^{-1}(x),x\in f(I)\text{是它的反函数，则}y=f^{-1}(x)\\ & \text{是}f(I)\text{上的连续函数.}\end{array}$$
4. 初等函数的连续性
   $$\begin{array}{rl}& \text{定理：一切初等函数都在其定义域内连续.}\\ & \\ & \text{【注】正是由于初等函数在其定义域内都是连续的，我们在计算初等函数}f(x)\text{在其定}\\ & \text{义域内某点}{x}_0\text{处的极限}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\text{时，才能直接将}x=x_0\text{代入：}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).\end{array}$$

间断点的定义

$$\begin{array}{rl}& \text{假设函数}f(x)\text{在点}{x}_0\text{的某去心邻域内有定义，并且函数}f(x)\text{在点}{x}_0\text{处不连续，}\\ & \text{则称点}{x}_0\text{为函数}f(x)\text{的间断点.}\end{array}$$

间断点的分类

$$\begin{array}{rl}& \text{假设点}{x}_0\text{为函数}f(x)\text{的间断点，若}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\text{与}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\text{均存在，则称点}{x}_0\text{为函}\\ & \text{数}f(x)\text{的第一类间断点；若}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\text{与}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\text{至少有一个不存在，则称点}{x}_0\text{为函}\\ & \text{数}f(x)\text{的第二类间断点.}\\ & \\ & \text{在第一类间断点中，如果}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\text{，则称点}{x}_0\text{为函数}f(x)\text{的可去间}\\ & \text{断点；如果}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\text{，则称点}{x}_0\text{为函数}f(x)\text{的跳跃间断点.}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{在第二类间断点中，如果}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\text{与}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\text{至少有一个为}\infty \text{，则称点}{x}_0\text{为函}\\ & \text{数}f(x)\text{的无穷间断点；如果}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\text{与}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\text{均不为}\infty \text{，则称点}{x}_0\text{为函数}f(x)\text{的}\\ & \text{振荡间断点.}\\ & \\ & \text{【注】由定义可知，要判断函数间断点的类型，关键是计算出左右极限}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\text{与}\\ & \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x).\end{array}$$

渐近线

$$\begin{array}{rl}& （1）\text{垂直渐近线}(x=a)\\ & \text{如果有}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\infty \text{或者}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\infty \text{，则称}x=a\text{为函数的垂直渐近线.}\\ & \\ & （2）\text{水平渐近线}(y=a)\\ & \text{如果有}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=a\text{或}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=a\text{，则称}y=a\text{为函数的水平渐近线.}\\ & \\ & （3）\text{斜渐近线}(y=kx+b)\\ & \text{如果有}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-(kx+b)\right]=0(k\ne 0)\text{或}\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f(x)-(kx+b)\right]=0(k\ne 0)\text{，则称}\\ & y=kx+b\text{为函数的斜渐近线.}\end{array}$$

导数与微分

导数

$$\begin{array}{rl}& \text{设函数}f(x)\text{在}{x}_0\text{的某邻域内有定义，给自变量}x\text{在}{x}_0\text{处加上增量}\Delta x\text{，相应地得}\\ & \text{到因变量}y\text{的增量}\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\text{．如果极限}\\ & \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\text{存在，则称函数在}{x}_0\text{处可导，该极限值称为函数在}\\ & x_0\text{处的导数，记作}{f}^{\prime }(x_0)，y^{\prime }(x_0)\text{或}{\frac{dy}{dx}|}_{x=x_0}．\\ & \\ & \text{导数的定义式还可以写成}{f}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}．\end{array}$$

微分

$$\begin{array}{rl}& \text{设函数}y=f(x)\text{在}{x}_0\text{的某邻域内有定义，当自变量}x\text{在}{x}_0\text{处有增量}\Delta x\text{时，如果}\\ & \text{因变量}y\text{的增量}\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\text{可以表示为}\\ & \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)，\Delta x\to 0\\ & \text{其中}A\text{为只与}{x}_0\text{有关而与}\Delta x\text{无关的常数，}o(\Delta x)\text{表示}\Delta x\text{的高阶无穷小量，则称}f(x)\\ & \text{在}{x}_0\text{处可微，并称}A\Delta x\text{为}f(x)\text{在}{x}_0\text{处的微分，记作}{dy|}_{x=x_0}\text{或}{df(x)|}_{x=x_0}\text{，即}\\ & {dy|}_{x=x_0}={df(x)|}_{x=x_0}=A\Delta x．\end{array}$$

可导与可微的关系

$$\begin{array}{rl}& \text{定理：设函数}f(x)\text{在点}{x}_0\text{的某邻域内有定义，那么函数}f(x)\text{在点}{x}_0\text{处可微与函数}\\ & f(x)\text{在点}{x}_0\text{处可导是等价的，也就是说：可微必可导，可导必可微.进一步地，我们还}\\ & \text{可以得到}f(x)\text{在点}{x}_0\text{处的微分}{dy|}_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)\Delta x．\end{array}$$

连续与间断点

$$\begin{array}{rl}& \boxed{连续性}\\ & \{\begin{array}{l}\text{判定某点是否连续：左极限=右极限=函数值.}\\ \text{判定区间是否连续：用性质、例27.}\end{array}\\ & \\ & \boxed{间断点}\\ & \{\begin{array}{l}\text{判断某点是否间断：不满足“左极限=右极限=函数值”，则间断.}\\ \text{找间断点（个数）例28：}\{\begin{array}{l}①\text{可疑点（分段点；定义域之外）；}\\ ②\text{判断该点是否间断.}\end{array}\end{array}\end{array}$$

函数的连续性

$$\begin{array}{rl}& \text{解：}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{\pi x}+\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi (1-x)}\right)\\ & =\frac{1}{\pi }+\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\pi (1-x)-\sin \pi x}{\sin \pi x\cdot \pi (1-x)}\\ & \\ & \text{令}t=x-1,\text{则}t\to 0^{-},\text{代入得：}\\ & =\frac{1}{\pi }+\underset{t\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\pi t-\sin \pi (t+1)}{\sin \pi (t+1)\cdot \pi (-t)}\\ & =\frac{1}{\pi }+\underset{t\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\pi t+\sin \pi t}{-\sin \pi t\cdot (-\pi t)}(\text{因}\sin \pi (t+1)=-\sin \pi t)\\ & \\ & \text{由等价无穷小：}\sin \theta -\theta \sim -\frac{1}{6}{\theta }^3(\theta \to 0),\text{故}\sin \pi t-\pi t\sim -\frac{1}{6}(\pi t{)}^3,\\ & =\frac{1}{\pi }+\underset{t\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\frac{1}{6}(\pi t{)}^3}{(\pi t{)}^2}=\frac{1}{\pi }+0=\frac{1}{\pi }\\ & \\ & \text{小结 只要遇到}x\to a,\text{一般作代换}t=x-a.\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{法2：}=\frac{1}{\pi }+\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\pi (1-x)-\sin \pi (1-x)}{\sin (\pi -\pi x)\cdot \pi (1-x)}\\ & \text{令}t=\pi (1-x)\text{，则}t\to 0^{+},\text{代入得：}\\ & =\frac{1}{\pi }+\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{t-\sin t}{\sin t\cdot t}=\frac{1}{\pi }\end{array}$$
$$\text{只需令}f(1)=\frac{1}{\pi },\text{即可使}f(x)\text{在}\left[\frac{1}{2},1\right]\text{上连续.}$$

间断点的类型

$$\begin{array}{rl}& \boxed{第一类间断点（左、右极限均存在）}\{\begin{array}{l}\text{可去间断点：左极限}=\text{右极限}\ne \text{函数值（或函数在该点无定义）}\\ \text{跳跃间断点：左极限}\ne \text{右极限}\end{array}\\ & \\ & \boxed{第二类间断点（左、右极限至少一个不存在）}\{\begin{array}{l}\text{无穷间断点：左极限或右极限至少有一个为}\infty \\ \text{振荡间断点：极限不存在且不为}\infty \text{，函数值在某区间内振荡}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{解：可疑点：}x=0,x=-1,x=1.\\ & \\ & \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{|x{|}^x-1}{x(x+1)\ln |x|}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^x-1}{x(x+1)\ln x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^{x\ln x}-1}{x(x+1)\ln x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x\ln x}{x(x+1)\ln x}=1\\ & \\ & \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{|x{|}^x-1}{x(x+1)\ln |x|}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{(-x{)}^x-1}{x(x+1)\ln (-x)}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{e^{x\ln (-x)}-1}{x(x+1)\ln (-x)}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x\ln (-x)}{x(x+1)\ln (-x)}=1\end{array}$$
$$x=0\text{为}f(x)\text{的可去间断点.}$$
$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -1}{\lim }\frac{(-x{)}^x-1}{x(x+1)\ln (-x)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{e^{x\ln (-x)}-1}{x(x+1)\ln (-x)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x\ln (-x)}{x(x+1)\ln (-x)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1}{x+1}=\infty \\ & \\ & \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^x-1}{x(x+1)\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{e^{x\ln x}-1}{x(x+1)\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\ln x}{x(x+1)\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}，\\ & x=1\text{是}f(x)\text{的一个可去间断点.}\\ & 一共有两个可去间断点，选C\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{法2：总结. 可疑点：}x=0,x=-1,x=1.\\ & x\to 0\text{时，}x\ln |x|\to 0；\\ & x\to -1\text{时，}x\ln |x|\to 0；\\ & x\to 1\text{时，}x\ln |x|\to 0.\\ & \\ & \text{当}x\to 0\text{或}x\to -1\text{或}x\to 1\text{时，}\\ & f(x)=\frac{e^{x\ln |x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}\sim \frac{x\ln |x|}{x(x+1)\ln |x|}=\frac{1}{x+1},\\ & \text{故可去间断点有2个.}\end{array}$$
$$\begin{gathered} \text{改题：} \\ \text{函数}f(x)=\frac{|x{|}^{(x^2-3x+2)\sin x}-1}{x(x+1)(x-2)\ln |x|\sin x}\text{的无穷间断点的个数为（）} \end{gathered}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{解：可疑点：}x=0,x=-1,x=1,x=2,x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\\ & \text{在所有可疑点附近，}\\ & e^{(x-1)(x-2)\sin x\ln |x|}-1\sim (x-1)(x-2)\sin x\ln |x|,\\ & \text{故}f(x)\sim \frac{x-1}{x(x+1)}.\\ & \\ & \text{当}x\to 0\text{时，}f(x)\to \infty ；\\ & \text{当}x\to -1\text{时，}f(x)\to \infty ；\\ & \text{无穷间断点有两个，其他点处，极限均存在，都是可去间断点.}\end{array}$$

渐近线

$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}\text{求指定的渐近线方程：斜}(k,b)\text{.（例29）}\\ \text{渐近线的条数：水平、垂直、斜.（例30）}\\ \text{选项中有渐近线的题：选项挨个判断.}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{解：}k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{x^{1+x}}{(1+x{)}^x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^x}{(1+x{)}^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\left(\frac{1}{x}+1\right)}^x}=\frac{1}{e}\\ & \\ & b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-kx\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^{1+x}}{(1+x{)}^x}-\frac{1}{e}x\right)=?\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& =\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{1}{(\frac{1}{x}+1{)}^x}-e^{-1}\right)\\ & =\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(e^{-x\ln (1+\frac{1}{x})}-e^{-1}\right)\\ & =e^{-1}\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(e^{1-x\ln (1+\frac{1}{x})}-1\right)\\ & =e^{-1}\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot \left(1-x\ln (1+\frac{1}{x})\right)\\ & \stackrel{t=\frac{1}{x}}{=}{e}^{-1}\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\frac{\ln (1+t)}{t}}{t}=e^{-1}\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{t-\ln (1+t)}{t^2}\\ & =e^{-1}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2e}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \boxed{【小结】}\\ & \boxed{求解斜渐近线的方法：}\\ & ①\text{斜渐近线：根据概念推导出斜渐近线的核心是求}k,b\text{，具体求法如下：}\\ & k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-kx\right]；\text{或}k=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f(x)-kx\right]。\\ & \\ & ②\text{斜渐近线}x\to +\infty ，x\to -\infty \text{两个方向均需要求。因为有时候，这两个方向的渐近线}\\ & \text{是不一样的，取决于极限是否需要分左右去求；}\\ & \\ & ③\text{当且仅当}k,b\text{都存在时，斜渐近线才存在。}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{推导：}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-(kx+b)\right]=0\\ & \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)-kx-b}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}-k=0\\ & b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-kx\right]\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \boxed{④有争议：}\\ & \text{观点1：无限接近但不能相交（渐近线）}\\ & \text{观点2：可以相交，只需}\underset{x\to \square }{\lim }\left[y-(kx+b)\right]=0(\text{真题})\\ & \\ & \text{例：}y=x+\sin \frac{1}{x}\text{的渐近线为}y=x\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{解：}\underset{x\to 0}{\lim }y=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)\right)=\infty ,\text{故}x=0\text{为垂直渐近线.}\\ & \\ & \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)\right)=+\infty ；\\ & \underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)\right)=0,\text{故}y=0\text{为一条水平渐近线.}\\ & \\ & \text{因}x\to -\infty \text{方向有水平渐近线，则该方向无斜渐近线.}\\ & k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x^2}+\frac{\ln (1+e^x)}{x}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1+e^x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln e^x}{x}=1\\ & \\ & b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\ln (1+e^x)-\ln e^x\right)\\ & =\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \frac{1+e^x}{e^x}=0,\text{故}y=x\text{为斜渐近线.}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \boxed{【小结】求渐近线条数的基本思路：}\\ & 1)\text{先求垂直渐近线（和无穷间断点求法一致）；}\\ & \\ & 2)\text{再求水平渐近线和斜渐近线：观察}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\text{是否存在；若存在，且}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=a,\\ & \text{则}y=a\text{是其水平渐近线，且此方向无斜渐近线，转4)；若}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\infty \text{转3)}\\ & \\ & 3)\text{求斜渐近线，先求}k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-kx\right]，若k,b\text{都存在，则存在斜}\\ & \text{渐近线，若在此方向不存在斜渐近线；转4)}\\ & \\ & 4)\text{对}x\to -\infty \text{重复2）和3），若发现}x\to +\infty \text{和}x\to -\infty \text{极限计算无区别，则可以合}\\ & \text{并，直接求}x\to \infty \end{array}$$
$$\begin{gathered} \text{改题：} \\ \text{曲线}y=\frac{1}{x^2-3x+2}+\ln (2+e^x)\text{渐近线的条数为（）} \end{gathered}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{解：}y=\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\ln (2+e^x)\\ & x=1,x=2\text{为两条垂直渐近线.}\\ & x\to -\infty \text{时，}y\to \ln 2,\text{故}y=\ln 2\text{为一条水平渐近线.}\\ & y=x\text{为一条斜渐近线.}\end{array}$$