【No.15】蓝桥杯动态规划上|最少硬币问题|0/1背包问题|小明的背包1|空间优化滚动数组(C++)

最新推荐文章于 2025-09-08 14:52:57 发布

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#蓝桥杯 #动态规划 #c++

本文介绍了动态规划在解决最少硬币问题中的应用，通过状态转移和递推关系展示了如何通过贪心策略优化，以及如何通过记忆化避免重复计算。同时提及了0/1背包问题作为动态规划的经典案例。

DP初步：状态转移与递推

最少硬币问题

有多个不同面值的硬币(任意面值)
数量不限
输入金额S，输出最少硬币组合。
回顾用贪心求解硬币问题
硬币面值1、2、5。支付13元，要求硬币数量最少
贪心:
(1)5元硬币，2个
(2)2元硬币，1个
(3)1元硬币，1个
硬币面值1、2、4、5、6.，支付9元。
贪心:
(1)6元硬币，1个
(2)2元硬币，1个
(3)1元硬币，1个
错误!
答案是:5元硬币+4元硬币=2个

硬币问题的正解是动态规划

type = [1,5,10,25,50] 5种面值
定义数组Min[]，记录最少硬币数量：
对输入的某个金额i，Min[i]是最少的硬币数量
第一步，只考虑1元面值的硬币

		金额i： 0，1，2，3，4，5
硬币数量`Min[]`：0，1，2，3，4

i=1元时，等价于：i = i - 1 = 0 元需要的硬币数量，加上1个1元硬币
i=2元时，等价于：i = i - 1 = 1 元需要的硬币数量，加上1个1元硬币
…
在1元硬币的计算结果基础上，再考虑加上5元硬币的情况，从i=5开始就行了
i=5元时，等价于

i = i - 5 = 0元需要的硬币数量，加上1个5元硬币，Min[5] = 1
原来的Min[5] = 5
取1和2的最小值，所以Min[5] = 1
i = 6元时，等价于
i = i - 5 = 1元需要的硬币数量，加上1个5元硬币，Min[6] = 2
原来的Min[6] = 6
取1和2的最小值，所以Min[6] = 2
Min[6] = Min[5] + 1
递推关系：
Min[i] = min (Min[i], Min[i - 5] + 1)
继续处理其它面值硬币

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>
using namespace std;

void solve(int s)
{
	int cnt = 5;   //5种硬币
	vector<int> type = {1,5,10,25,50};  //5种面值
	vector<int> Min(s+1, INT_MAX);   //初始化为无穷大
	Min[0] = 0;
	for (int j = 0; j < cnt; j ++)  //5种硬币
	{
		Min[i] = min (Min[i], Min[i - type[j]] + 1);
	}
	cout << Min[s] << endl;
}

int main()
{
	int s;
	cin >> s;
	solve(s);
	return 0;
}

DP的两个特征

重叠子问题
在递归算法中，尤其是在解决最优化问题时，经常会遇到这样的情况：在求解大问题的过程中，我们需要多次求解规模更小、结构相同的问题。这些小问题被称为子问题。如果这些子问题在大问题求解过程中被重复计算多次，这将导致算法效率低下，因为大量时间被重复的子问题求解所占据。动态规划通过存储子问题的解(通常在二维数组中，称为DP表)，确保每个子问题只计算一次，从而避免了重复计算。当需要某个子问题的解时，直接从DP表中查找，如果该子问题尚未解决，则先解决它，然后存储其解。
最优子结构
这是动态规划能够成功解决许多问题的另一个关键特性。最优子结构是指一个问题的最优解包含其子问题的最优解。换句话说，如果我们能找到所有子问题的最优解，那么我们可以通过这些子问题的最优解来构建原问题的最优解。动态规划利用这个性质，通过自底向上的方式(即先解决最基础的子问题，然后逐步解决更大规模的子问题)来构建问题的最优解。

DP：记忆化

如果各个子问题不是独立的，如果能够保存已经解决的子问题的答案，在需要的时候再找出已求得的答案，可以避免大量的重复计算。
基本思路：用一个表记录所有已解决的子问题的答案，不管该问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
记忆化
解题步骤

拆分问题
定义状态(并找出初状态)
状态转移方程
一般的模型方法
递归搜索法
记忆化搜索(记忆化暴力)
递推式法

最经典的DP问题：0/1背包

给定n种物品和一个背包，物品i的重量是 $w_{i}$ 其价值为 $v_{i}$ ，背包的容量为C.
背包问题:选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大
如果在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择:装入背包或不装入背包，称为0/1耆包问题，
与装载问题不同的是，0/1背包不能只装一部分，要么选，要么不选。