最少硬币问题(多重背包)

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Problem Description
设有n种不同面值的硬币,各硬币的面值存于数组T[1:n]中。现要用这些面值的硬币来找钱。可以使用的各种面值的硬币个数存于数组Coins[1:n]中。
对任意钱数0≤m≤20001,设计一个用最少硬币找钱m的方法。
对于给定的1≤n≤10,硬币面值数组T和可以使用的各种面值的硬币个数数组Coins,以及钱数m,0≤m≤20001,计算找钱m的最少硬币数。
Input
输入数据第一行中只有1个整数给出n的值,第2行起每行2个数,分别是T[j]和Coins[j]。最后1行是要找的钱数m。
Output
输出数据只有一个整数,表示计算出的最少硬币数。问题无解时输出-1。
Sample Input
3
1 3
2 3
5 3
18
Sample Output
5
Hint

Source


//硬币种类有限制,硬币数目有限制
//多重背包

#include <iostream>
//#include <cstdio>
using namespace std;
const int
<think>嗯,用户问的是多重背包算法在付款系统中的实现和应用场景。首先,我需要回忆一下多重背包问题的定义和常见的解决方法。多重背包问题允许每种物品有多个,但数量有限,这与完全背包不同,后者每种物品可以无限取用。常见的解法包括二进制优化和单调队列优化。 接下来,我得考虑支付场景中的具体需求。比如在付款时,用户可能有不同面值的货币或优惠券,每种面值有数量限制,系统需要组合这些来支付特定金额。这时候,如何高效地找到最优组合,可能用到多重背包算法。 然后,我需要联系实际应用。比如在自动售货机找零时,硬币数量是有限的,系统需要计算如何用最少硬币数量完成找零。或者在使用优惠券时,用户有多张不同面值的优惠券,每种只能用一定次数,这时候如何最大化优惠金额也是一个多重背包问题。 然后,实现方面,可能需要动态规划。状态转移方程可能需要处理每种物品的数量限制。比如二进制优化将物品数量分解成多个二进制块,这样可以转换成0-1背包问题,但效率可能更高。或者使用滚动数组来优化空间复杂度。 还需要考虑实际支付系统中的约束,比如处理时间要快,尤其是当金额较大时,算法的时间复杂度不能太高。可能需要对算法进行优化,比如使用贪心算法结合动态规划,或者在特定条件下提前终止搜索。 另外,用户提到的参考引用中有动态规划的相关内容,特别是状态转移方程,这可能在构建解决方案时很重要。需要确保引用的正确性,比如引用[2]提到的分组背包可能不太相关,但状态转移的思想可以借鉴。 可能还需要比较其他算法,比如贪心算法是否适用,但贪心在背包问题中通常不保证最优解,除非面值符合特定条件(如硬币面值设计为贪心友好)。因此,动态规划方法更可靠,尽管计算量可能更大。 最后,生成相关问题时要围绕多重背包的应用、优化以及与其他问题的对比,这样可以帮助用户更全面地理解该算法在支付系统中的位置和作用。</think>### 多重背包问题在支付系统中的实现与应用 #### 1. 多重背包问题定义 多重背包问题的数学模型为: $$ \text{最大化} \sum_{i=1}^n v_i x_i \quad \text{满足} \quad \sum_{i=1}^n w_i x_i \leq W,\ 0 \leq x_i \leq c_i $$ 其中 $v_i$ 为价值,$w_i$ 为重量,$c_i$ 为物品数量限制,$W$ 为背包容量[^2]。 #### 2. 支付场景中的具体应用 **案例1:组合支付优化** 在跨境支付系统中,需要将不同面值的外币现钞组合支付指定金额。例如: - 美元面值:\$1(10张)、\$5(5张)、\$20(2张) - 目标金额:\$87 此时可通过多重背包算法找到**使用最少张数**或**特定币种组合**的最优解。 **案例2:优惠券核销** 用户持有满减券(满100减20,限用3张)、折扣券(8折券,限用1张)等不同类型优惠券时,系统需要根据订单金额选择最优组合实现最大优惠[^1]。 #### 3. 核心实现方法 **二进制优化实现(Python示例)** ```python def multiple_knapsack(amount, coins): dp = [float('inf')] * (amount + 1) dp[0] = 0 for coin, count in coins.items(): # 二进制拆分优化 k = 1 while k <= count: weight = coin * k for j in range(amount, weight - 1, -1): dp[j] = min(dp[j], dp[j - weight] + k) count -= k k *= 2 if count > 0: weight = coin * count for j in range(amount, weight - 1, -1): dp[j] = min(dp[j], dp[j - weight] + count) return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1 ``` **关键优化点** 1. **空间压缩**:使用一维滚动数组降低空间复杂度至 $O(W)$ 2. **提前终止**:当金额达到支付目标时立即返回结果 3. **边界处理**:对超大金额进行分片计算 #### 4. 工程实践要点 - **时间复杂度**:$O(N \cdot W)$(N为拆分后的物品总数) - **内存优化**:通过动态数组复用减少GC压力 - **并发计算**:对大额支付任务采用分段并行计算 - **缓存机制**:对常用金额组合预存计算结果 #### 5
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