CF1552G 题解

Description

给定 $n,k$ 以及位置集合 $S_1,S_2,\cdots ,S_k$。

定义第 $i$ 轮排序如下: 将 $S_i$ 中的值从小到大排序。

你需要判断，若依次执行第 $1,2,3,\cdots ,k$ 轮排序，是否任意数列都能最终变成单调不下降的。

$1\le n\le 40,1\le k\le 10$

Solution

下面，为方便叙述，令一个序列可以被复原，当且仅当对其依次执行第 $1,2,3,\cdots ,k$ 轮排序后，该排列不降。

Lemma

答案为 ACCEPTED，当且仅当所有 $01$ 序列可被复原。

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考虑求出所有可被复原的 $01$ 串。若其仅包含形如 0000...0111...11 的串，那么答案为 ACCEPTED，否则为 REJECTED。

考虑扫描每轮排序，并维护若干个当前可达的 $01$ 串。其中，若在第 $i$ 轮排序后串 $S_0^{\prime }$ 可达，当且仅当存在某个初始串 $S_0$ 使得其经历前 $i$ 轮排序后变为 $S_0^{\prime }$。于是，我们得到了算法流程: 维护若干个当前可达的 $01$ 串，每次向上向下扩展。可以理解为 BFS。

这样我们就得到了一个朴素的做法。然而，其复杂度很劣：尤其是在第 $1$ 轮排序前，可达的 $01$ 串有 $2^n$ 个，无法直接维护。

考虑做一个剪枝——只考虑那些有意义的位置。具体的，我们仅考虑所有在之前的排序中出现过至少一次的位置。例如，$n=40$，且前两轮排序分别对 {3,5,7,8}\{3,5,7,8\}{3,5,7,8} 和 {2,5,6,7}\{2,5,6,7\}{2,5,6,7} 进行了排序，那么我们在第 $2$ 轮排序结束前仅考虑第 $2,3,5,6,7,8$ 位。

剪枝后，我们该如何进行扩展呢？令 $S_i$ 为第 $i$ 轮排序的位集，$S_i^{\prime }$ 为在 $S_i$ 中出现然而没有在 $S_1,S_2,\cdots ,S_{i-1}$ 中出现的位集。显然，只需要确定了序列的 $S_i^{\prime }$ 中 $0$ 的数量，我们就能唯一确定的扩展后的 $01$ 序列。于是我们从 $0$ 枚举到 $|S_i^{\prime }|$，计算出新的 $01$ 序列扩展出去即可。

考虑时间复杂度。注意到，在第 $i$ 轮排序中，$P$ 的大小翻了 $|S_{i+1}^{\prime }|+1$ 倍，所以时间复杂度为

$$O((|S_1^{\prime }|+1)(|S_2^{\prime }|+1)(|S_3^{\prime }|+1)\cdots (|S_k^{\prime }|+1))$$

由于所有 $|S_i^{\prime }|+1$ 的和不超过 $n+k$，而 $S_i^{\prime }$ 共有 $k$ 个，所以复杂度等价于——选定 $k$ 个和为 $n+k$ 的数使得它们的乘积最大。可以发现，其为 $O((\frac{n+k}{k}{)}^k)$。

综上所述，我们采用二进制数+位运算加速转移，单次 $O(1)$，总复杂度 $O((\frac{n+k}{k}{)}^k)$。本题被解决。

Code

注意要特判 $n=1$，答案总为 ACCEPTED。否则（即 $n\ne 1$ 的情况），若没能覆盖到所有的位置，那么答案总为 REJECTED。

yysy，下面的代码非常难懂而且我不想解释，所以不建议阅读。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxl=45;

int read(){
	int s=0,w=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-')  w=-w;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+(ch^'0');ch=getchar();}
	return s*w;
}
int n,k,cover_tot,flag=1,lb;
int p[maxl],s[maxl],bc_s[maxl],set01[maxl][maxl],good_list[maxl];

bool getbit(int x,int y){return x&(1ll<<(y-1));}
bool judge_state(int val){
	int p=lower_bound(good_list,good_list+n+1,val)-good_list;
	return (good_list[p]==val);
}

void dfs(int now,int state){
	if (now==k+1){
		if (!judge_state(state))  flag=0;
		return;
	}
	int occ=(p[now]^s[now]),cnt0,new_state=state;
	cnt0=__builtin_popcountll(((1ll<<n)-1-state)&occ);
	state=(state&((1ll<<n)-1-p[now]));
	for (int i=0;i<=bc_s[now];i++){
		new_state=(state|set01[now][cnt0]);
		dfs(now+1,new_state),cnt0++;
	}
}

signed main(){
	n=read(),k=read();
	if (n==1)  return puts("ACCEPTED"),0;
	for (int i=1;i<=n;i++)  good_list[i]=good_list[i-1]+(1ll<<(i-1));
	for (int i=0;i<=n;i++)  good_list[i]=(1ll<<n)-1-good_list[i];
	sort(good_list,good_list+n+1);
	
	for (int i=1;i<=k;i++){
		int len=read();
		for (int j=1;j<=len;j++){
			int x=read();
			p[i]+=(1ll<<(x-1));
		}
	}
	for (int i=1;i<=k;i++){
		int len=0,all=0;
		set01[i][len]=0;
		
		for (int j=1;j<=n;j++){
			if (getbit(p[i],j)){
				len++;
				set01[i][len]=set01[i][len-1]+(1ll<<(j-1));
				all+=(1ll<<(j-1));
			}
		}
		for (int j=0;j<=len;j++)  set01[i][j]=all-set01[i][j];
	}
	for (int i=1;i<=k;i++){
		for (int j=1;j<=n;j++){
			if (getbit(p[i],j)==1&&getbit(cover_tot,j)==0)
			  s[i]+=(1ll<<(j-1));
		}
		for (int j=1;j<=n;j++)  bc_s[i]+=getbit(s[i],j);
		cover_tot|=p[i];
	}
	if (cover_tot!=((1ll<<n)-1))  return puts("REJECTED"),0;
	
	dfs(1,0);
	if (flag==0)  puts("REJECTED");
	else puts("ACCEPTED");
	
	return 0;
}